June 30, 2017

Simulasi Benda Putar dengan Sumbu Putar Garis ax+by+c=0

Gambar 1
Benda putar yang dibentuk dari sebuah kurva tidak selamanya berasal dari putaran kurva pada sumbu x, atau sumbu y saja. Namun terkadang benda putar tersebut diperoleh dari kurva yang diputar pada sumbu putar lainnya, misalnya pada sumbu putar y=c, sebagaimana telah dibahas pada tulisan sebelumnya dengan judul postingan "Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c". Tidak ada salahnya jika sebelum melanjutkan membaca postingan ini melihat kembali beberapa tulisan terkait dengan simulasi benda putar, khususnya untuk lebih memahami konsep rumus "surface". Berikut ini beberapa tulisan yang dapat dijadikan referensi sebelum melanjutkan:
Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra 


Sesuai dengan judul tulisan ini, kita akan membahas bagaimana caranya membuat simulasi benda putar yang sumbu putarnya adalah garis ax+by+c=0 menggunakan software GeoGebra. Pada tulisan ini digunakan software GeoGebra versi 6, bagi yang belum update tidak perlu khawatir karena tutorial yang diberikan juga dapat digunakan pada GeoGebra versi 5. Namun disarankan gunakan software yang terbaru dari GeoGebra, untuk cara mendownload dan install GeoGebra versi 6 dapat klik postingan yang lalu dengan judul: Download GeoGebra Versi 6.



Sebelum membahas benda putar dengan sumbu putar garis ax+by+c=0, kita akan membahas pada sumbu putar y=mx terlebih dahulu agar penggunaan rumus surface benar-benar dipahami secara jelas. Untuk membuat simulasi benda putar dengan sumbu putar y=mx gunakan langkah-langkah berikut ini:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=mx, kita contohkan y=2x, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya $x^3 +4$ sehingga terdefinisi sebagai g
  • Buat slider sudut alpha 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-(2a))cos(b)+(2a),(g(a)-(2a))sin(b),a,-1,1,b,0,α]
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat sebagaimana tampak seperti pada gambar 1
Bandingkan pula rumus surface yang digunakan dengan rumus surface pada benda putar pada sumbu putar y=c, seperti dalam tulisan sebelum ini: Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c, dan juga penggunaan rumus surface pada tulisan lain sebelumnya di: Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra .

Rumus surface untuk membuat benda putar yang diputar dengan sumbu putar berupa garis ax+by+c=0 tentunya akan sedikit berbeda, dimana bentuk ax+by+c=0 perlu diketahui bentuk y=mx+c terlebih dahulu. Hal ini diperlukan agar pembuatan rumus surfacenya menjadi lebih mudah. Pada contoh berikut akan disajikan benda putar yang dibentuk oleh kurva $x^2$ dan diputar pada sumbu putar berupa garis $-2x+y-3=0$, hasilnya seperti gambar 2 berikut:
Gambar 2

Berikut ini langkah-langkah yang harus dilakukan:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=mx+c, kita contohkan y=2x+3 yang juga bisa dituliskan -2x+y-3=0, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya $x2$ sehingga terdefinisi sebagai g
  • Buat slider sudut alpha 
  • Cari titik potong antara f dan g, dimana titik potong ini akan digunakan sebagai batas daerah putarnya. 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-(2a+3))cos(b)+(2a+3),(g(a)-(2a+3))sin(b),a,x(A),x(B),b,0,α]
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat sebagaimana tampak seperti pada gambar 2.
Jika masih mengalami kesulitan, silahkan simak tutorialnya berikut ini dan jangan lupa like, subcribe dan bagikan.
Demikian postingan kita kali ini, jika ada hal yang akan didiskusikan atau sekedar memberikan komentar dipersilahkan, kami sangat terbuka dengan beragam masukan untuk kemajuan dan pengembangan pengetahuan kita bersama sehingga dapat bermanfaat bagi yang memerlukan.

June 10, 2017

Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c

Pada pembahasan masalah integral, penentuan volume benda putar merupakan bagian penting dari materi penggunaan integral. Mungkin pernah muncul pertanyaan, apa ada benda putar dalam kehidupan kita sehingga perhitungan volumenya bisa menggunakan integral? Pertanyaan semacam ini memang harus dijawab dengan tepat agar pembelajaran menghitung volume benda putar dapat bermakna dan bukan sekedar menggunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar belaka.

Sebenarnya dalam keseharian, kita senantiasa berhadapan dengan bentuk benda putar misalnya ember, drum, terompet, teropong, piring, mangkok, gelas, wajan, dan lain sebagainya. Yang mana inti dari benda putar adalah objek tiga dimensi yang alasnya berbentuk lingkaran. Lalu apa hubungannya dengan integral sehingga untuk menentukan volume beragam bentuk benda putar tersebut dapat menggunakan integral?

Untuk menjawab tersebut dapat dilakukan secara matematis atau juga dapat dijelaskan hanya dengan bantuan sebuah benda putar bagaimana benda tersebut dapat terbentuk. Masalah ini tidak akan kita bahas pada postingan kali ini, karena sebelumnya telah ditulis mengenai pembahasan benda putar, oleh karenanya silahkan dibaca  postingan-postingan terdahulu pada link berikut ini: Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra 

Postingan kali ini, akan melengkapi pembahasan di atas yaitu bagaimana membuat simulasi benda putar yang sumbu putarnya adalah y = c. Pembahasan ini menggunakan GeoGebra versi 6, namun dalam hal penggunaan dapat digunakan untuk GeoGebra yang biasa atau klasik (versi 5).
Berikut langkah-langkah yang perlu dilakukan:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=c, misalnya y=2, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya x^2 dengan batas 0 sampai 2 
  • Buat slider sudut alpha 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-2)cos(b)+2,(g(a)-2)sin(b),a,0,2,b,0,α] 
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat 
  • Untuk lebih jelasnya perhatikan tutorial pada video berikut:

Demikian postingan kita, dan selamat mencoba!!!

May 13, 2017

Mengenal Titik Pada Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius mempunyai peranan cukup penting dalam matematika, khususnya geometri dan aljabar. Istilah "Kartesius" sendiri digunakan untuk mengenang jasa dari seorang ahli matematika perancis yakni "Descartes" yang telah berperan penting dalam menggabungkan antara aljabar dan geometri. Dengan menggunakan sistem koordinat kartesius bentuk-bentuk geometri dapat disajikan dalam bentuk persamaan aljabar.

Sistem koordinat kartesius awalnya digunakan hanya pada sistem bidang dua dimensi, namun selanjutnya dikembangkan untuk sistem ruang atau tiga dimensi. Sistem koordinat kartesius untuk sistem bidang diperlukan dua buah garis yang saling tegak lurus yaitu sumbu x dan sumbu y.

Di GeoGebra versi 6, tampilan sistem koordinat kartesius untuk dua dimensi terlihat seperti gambar berikut:

Sedangkan untuk tampilan tiga dimensi terlihat seperti gambar berikut:


Sebelum melanjutkan teknik membuat sebuah titik menggunakan geogebra versi 6, kami harapkan membaca kembali beberapa postingan terdahulu yang telah membahas masalah titik menggunakan geogebra versi lama pada link INI.



Pada dasarnya untuk pembuatan titik menggunakan geogebra versi 6 tidaklah berbeda dengan versi sebelumnya, cukup klik icon titik pada menu toolbar kemudian klik di bidang kartesius maka titik yang diinginkan telah sukses dibuat.

Teknik lain adalah dengan menggunakan input langsung, misalnya akan dibuat titik B (-2,3), pada menu input langsung ketikkan saja B=(-2,3) secara otomatis akan tergambar sebuah titik B (-2,3) pada bidang kartesius.

Titik yang dibuat dapat dipindahkan dengan mendrag-nya ke arah manapun, cara ini dapat digunakan untuk menjelaskan tentang perubahan koordinat pada sebuah titik yang terdiri dari dua bilangan yaitu  koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Agar lebih jelas simak tutorial geogebra 6 pada chanel youtube berikut:

Untuk versi mobile (android) dapat melihat pada vidio tutorial geogebra khusus android berikut:

Jika tampilan vidio kurang jelas atau sangat kecil, dapat langsung menonton pada chanel Youtube kami berikut: Chanel Youtube Tutorial GeoGebra Versi 6


April 29, 2017

Download GeoGebra Versi 6

Pengembangan GeoGebra sebagai software matematika senantiasa mengikuti dinamika perkembangan tekhnologi. Saat ini, GeoGebra telah merilis update softwarenya ke versi 6, yang sebelumnya versi ini telah diujicobakan atau digunakan pada perangkat tablet baik berbasis android, windows maupun online. Kini versi tersebut telah hadir dalam aplikasi dekstop yang dapat bekerja baik online maupun offline.

Pada versi 6, tampaknya pengguna GeoGebra akan diberikan pengalaman yang sedikit berbeda dibandingkan ketika menggunakan versi sebelumnya. Tampilan awalpun sudah sangat berbeda, sehingga perlu sedikit penyesuaian untuk menggunakan versi ini, namun penyesuaian ini tidaklah lama. Pada versi ini GeoGebra mengenalkan istilah baru untuk aplikasinya, yaitu GeoGebra Math Apps.




Selanjutnya, apa yang menjadikan GeoGebra versi 6 ini lebih baik dibandingkan versi sebelumnya? Menurut informasi resmi di http://blog.geogebra.org bahwa versi 6 telah mengalami beberapa peningkatan atau perbaikan antara lain:
  • Mempunyai tampilan yang sama dan bagus di semua platform dan halaman web
  • Fitur baru untuk editor equation pada tampilan aljabarnya
  • Perbaikan tampilan aljabar (pada slider, checkbox, dan pecahan)
  • Perbaikan tools penyisipan gambar dan dapat mengambil gambar dari webcam
  • Penyimpanan terintegrasi dengan akun geogebra, sehingga dapat diakses disemua platform
  • Dapat digunakan secara offline
Lalu, bagaimana dengan versi sebelumnya? Jangan khawatir, bagi pengguna yang masih tetap ingin memakai GeoGebra versi 5, GeoGebra tetap akan mensuport jika dalam aplikasi lama (GeoGebra Clasic) terdapat bug.

Anda penasaran dan ingin mencoba GeoGebra versi 6, atau GeoGebra Math Apps segera download dan isntal GeoGebra versi 6 dari web resminya atau klik LINK BERIKUT.




Blog Belajar GeoGebra juga akan menyajikan tutorial-tutorial untuk GeoGebra versi 6 ini, jadi tetap setia ya di blog belajar geogebra ini. Selamat mencoba!!!!


April 15, 2017

Pelatihan GeoGebra Gratis

Matematika Nusantara namanya biasa disingkat dengan MN, yang awalnya merupakan komunitas guru-guru matematika di dunia maya dengan visi dan misi yang sama, kemudian hari telah menjelma menjadi badan hukum sesuai dengan keputusan Menkumham Republik Indonesia Nomor AHU-003239.AH.01.07.TAHUN 2017 tentang Pengesahan Pendirian Badan Hukum Perkumpulan Matematika Nusantara. Di usia yang masih kategori BALITA ini MN mencoba untuk berbuat dalam rangka peningkatan kompetensi para anggotanya melalui kegiatan Pendidikan dan Latihan (diklat) GeoGebra Dasar.

Pelatihan ini tidak harus mengganggu KBM (Kegiatan Belajar Mengajar), dan tidak harus berbiaya. Diklat dalam jaringan (online) ini GRATIS, BERKUALITAS dan BERSERTIFIKAT, khusus bagi anggota MN (Matematika Nusantara). Yang berminat untuk mendaftar bisa mengisi formulir melalui link berikut:



Walaupun kami share agak terlambat, namun harapannya masih ada kesempatan dari MN untuk memperpanjang waktu pendaftaran untuk mengikuti pelatihan ini.

Jadi, yang ingin daftar buruan ya? Karena kegiatan ini sangat positif dengan tujuan pelaksanaan yang cukup jelas agar peserta diklat dapat dapat:

  1. Mengenal Geogebra
  2. Membuat obyek bangun datar
  3. Membuat sudut, garis sejajar, garis tegak lurus dan garis singgung lingkaran
  4. Mengeksplorasi perintah (command) persamaan, pertidaksamaan dan fungsi
  5. Membuat transformasi geometri
Selamat mendaftar dan mengikuti diklat GeoGebra Dasar!!!!




February 19, 2017

Dilatasi

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita perlu melihat benda yang kecil agar dapat terlihat lebih jelas dengan cara memperbesar tampilan benda tersebut menggunakan alat bantu yang sesuai, misalnya mikroskop, teropong, kamera, dan sebagainya. Di lain kesempatan justru sebaliknya, benda yang besar diperlukan agar tampilannya kelihatan lebih kecil, misalnya untuk melihat bentuk sebuah pulau, gunung, atau bahkan bumi diperlukan bentuk yang lebih kecil agar dapat teramati.

Bentuk-bentuk yang merupakan hasil perbesaran atau pengecilan itu sebenarnya telah mengalami proses dilatasi. Dilatasi dapat diartikan sebagai perkalian dengan sebuah faktor yang dapat menghasilkan bayangan obyek menjadi lebih besar atau lebih kecil dari objek sebenarnya. Karena perbesaran atau perkecilan objek yang didilatasi tergantung dari faktor pengalinya, maka untuk menentukan hasil dari dilatasi sebuah objek cukup kalikan setiap objek yang didilatasi dengan faktor pengalinya.



Kita dapat memanfaatkan GeoGebra sebagai media untuk meningkatkan pemahaman tentang dilatasi. Berikut ini beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk membuat dilatasi menggunakan GeoGebra:

  1. Buat sebuah slider yang berfungsi sebagi faktor pengali dilatasi.
  2. Buat atau tentukan sebuah objek yang akan didilatasi.
  3. Gunakan rumus atau perintah Dilate[ <Object>, <Dilation Factor> ] atau Dilate[ <Object>, <Dilation Factor>, <Dilation Center Point> ]
Perhatikan contoh pada tutorial berikut ini:

Agar penggunaan GeoGebra untuk dilatasi dapat dikuasai dengan baik, maka perlu kita mencoba menggunakan perintah dilatasi ini pada berbagai keadaan. Jika yang dicontohkan di atas adalah dilatasi objek dari sebuah objek yang disisipkan, maka kita dapat mencoba dengan objek lain berupa titik atau kurva yang dibuat menggunakan GeoGebra.
Prinsip pendilatasian tidak ada perbedaan dengan contoh yang telah disajikan di atas. Jika mengalami kesulitan dapat bertanya dengan cara mengisi komentar di bawah. Selamat mencoba....

February 16, 2017

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa Menggunakan GeoGebra

Sebelum membahas cara menyelesaikan persamaan diferensial biasa menggunakan GeoGebra, mari kita lihat beberapa pengertian dari persamaan diferensial berikut:

  • Persamaan Differensial adalah Persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi
  • Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang mempunyai fungsi satu variable bebas
  • Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang mempunyai fungsi dengan jumlah variable bebas lebih dari satu
Persamaan Diferensial Biasa dalam bahasa inggris disebutkan sebagai Ordinary Differential Equations (ODE), sehingga dalam pembahasan penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa ini akan digunakan perintah "SolveODE".

Perintah SolveODE dapat digunakan langsung untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan cara mengetikkan langsung perintah SolveODE dan bentuk persamaan diferensial yang akan diselesaikan tersebut.

Terdapat 10 cara penggunaan perintah SolveODE yang masing-masing perintah mempunyai keguanaan masing-masing. 10 perintah SolveODE tersebut adalah sebagai berikut:

Input Syntax:

  1. SolveODE[ <f'(x, y)> ]
  2. SolveODE[ <f'(x, y)>, <Point on f> ]
  3. SolveODE[ <f'(x, y)>, <Start x>, <Start y>, <End x>, <Step> ]
  4. SolveODE[ <y'>, <x'>, <Start x>, <Start y>, <End t>, <Step> ]
  5. SolveODE[ <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <End x>, <Step> ]
CAS Syntax:
  1. SolveODE[ <Equation> ]
  2. SolveODE[ <Equation>, <Point(s) on f> ]
  3. SolveODE[ <Equation>, <Point(s) on f>, <Point(s) on f'> ]
  4. SolveODE[ <Equation>, <Dependent Variable>, <Independent Variable>, <Point(s) on f> ]
  5. SolveODE[ <Equation>, <Dependent Variable>, <Independent Variable>, <Point(s) on f>, <Point(s) on f'> ]
Pembahasan pada postingan kali ini akan membahas perintah SolveODE[ <f'(x, y)> ] pada menu input. Sebelum melanjutkan pembahasan, ada beberapa hal yang harus dipahami terlebih dahulu agar perintah SolveODE[<f'(x,y)>] dapat memberikan hasil yang sesuai.

Supaya perintah SolveODE[ <f'(x, y)> ] memberikan hasil yang semestinya, terlebih dahulu persamaan diferensialnya diubah menjadi bentuk dy/dx. Perhatikan penggunaan perintah SolveODE untuk menyelesaikan beberapa soal persamaan diferensial berikut.

Carilah penyelesaian umum dari persamaan diferensial $\frac{dy}{dx}= (1+x)(1+y)$
Soal di atas dapat langsung diselesaikan dengan mengetikkan perintah berikut pada menu input langsung:
SolveODE[(1+x)(1+y)]


Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Keterangan gambar:

  • f(x) menunjukkan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diinputkan
  • c1 merupakan nilai dari konstantan (c) yang nilainya dapat berubah-ubah, pada gambar di atas diberikan nilainya 1
Cari penyelesaian umum dari persamaan diferensial $(x+y)dx +x dy=0$
 Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu merubahnya menjadi bentuk umum $\frac{dy}{dx}$, sehingga bentuk persamaan diferensial $(x+y)dx +x dy=0$ akan menjadi $\frac{dy}{dx}= \frac{-(x+y)}{x}$. Bentuk terakhir inilah yang dapat diinputkan ke GeoGebra agar dapat diperoleh penyelesaian-nya.

Ketikkan perintah berikut pada menu input langsung:
SolveODE[(-(x + y)) / x]

Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Keterangan gambar:

  • f(x) menunjukkan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diinputkan
  • c1 merupakan nilai dari konstantan (c) yang nilainya dapat berubah-ubah, pada gambar di atas diberikan nilainya 1
Dengan menggunakan dua contoh tersebut, diharapkan para pembaca blog ini dapat memahami dan mempraktikkan perintah SolveODE dalam mencari penyelesaian persamaan diferensial biasa. Perintah SolveODE yang lain, mudah-mudahan dapat kita bahas dalam kesempatan berikutnya. Selamat mencoba, bagi yang belum jelas dapat berkomentar di bawah postingan ini.

February 6, 2017

Membuat Simulasi Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi mata pelajaran matematika yang diajarkan pada jenjang SMP dan SMA. Fungsi kuadrat dapat juga disebut sebagai fungsi parabola, karena bentuk dari grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Grafik fungsi kuadrat dapat berupa grafik yang terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang kondisi-kondisi seperti apa yang menyebabkan grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau terbuka ke bawah, sebaiknya kita lihat terlebih dahulu bentuk umum dari fungsi kuadrat berikut:
$f(x)= ax^2+bx+c$

Agar lebih mudah dan kita mampu menyimpulkan kondisi yang seperti apa sehingga grafik fungsi kuadrat harus terbuka ke atas ataukah terbuka ke bawah, maka kita dapat menggunakan GeoGebra sebagai alat bantu simulasi grafik fungsi kuadrat tersebut.

Berikut ini langkah-langkah membuat simulasi grafik fungsi kuadrat menggunakan GeoGebra:
  1. Buka lembar GeoGebra
  2. Buatlah 3 slider, yaitu slider a, slider b, dan slider c.
  3. Pada menu input ketikkan ax^2+bx+c
  4. Untuk mengetahui beragam kondisi grafik fungsi kuadrat, geserlah slider a, b atau c.

Melalui kegiatan tersebut, kita akan dapat menyimpulkan berbagai kondisi dan posisi grafik fungsi kuadrat dengan membandingkan nilai slider a, b, dan c dengan perubahan grafik fungsi kuadrat yang dibuat. Menggunakan media ini, diharapkan pembelajaran matematika menjadi lebih menyenangkan dan bermakna.

Agar lebih jelas, simak vidio tutorialnya berikut ini:


Selamat mencoba, jangan lupa subscribe chanel kami dan like fanspage kami ya....