May 27, 2018

Membuat Irisan Kerucut dengan GeoGebra

Pengembangan GeoGebra sampai saat ini sudah sangat berbeda dengan awal rilis GeoGebra. GeoGebra saat ini telah dapat digunakan di berbagai platform operating system, baik windows, mac, ios, maupun android. Jadi, menjadi sangat penting bagi kita untuk senantiasa mengikuti perkembangan GeoGebra. Perkembangan GeoGebra dapat diakses langsung di website resminya geogebra.org. Namun, bagi Anda yang mengalami kesulitan untuk mengikuti pada website resminya tersebut, Anda sudah tepat berlangganan dan membaca blog ini. Blog ini berusaha menyajikan perkembangan-perkembangan terkini dari GeoGebra dengan menggunakan sajian sederhana dan berbahasa Indonesia tentunya.

Irisan Kerucut Menggunakan GeoGebra


Baiklah, sesuai dengan judul yang disajikan di atas, kali ini kita akan membahas tentang irisan kerucut. Sebelumnya irisan kerucut telah dibahas pada postingan terdahulu di blog ini, jadi yang belum sempat baca, silahkan baca dulu judul berikut ini ya:


Irisan Kerucut

Macam-macam irisan kerucut yang dipelajari  antara lain:
  • lingkaran
  • elips
  • parabola
  • hiperbola
Macam-macam irisan kerucut tersebut dapat disimulasikan menggunakan GeoGebra. Tujuan membuat simulasi menggunakan GeoGebra adalah memberikan gambaran bagaimana sebuah kerucut yang dilalui oleh sebuah bidang dapat menghasilkan bermacam-macam bentuk seperti lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Pengalaman penulis, dahulu waktu belajar irisan kerucut hanya membayangkan dalam ruang imaginasi. Ketika ada sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang dengan posisi tertentu akan menghasilkan bentuk tertentu, seperti lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Dengan cukup membayangkan dalam ruang imaginasi otak ini, waktu itu penulis sudah mampu berabstraksi tentang irisan kerucut.

Untuk saat ini, kemampuan abstraksi irisan kerucut akan lebih mudah karena terbantu dengan melihat sebuah simulasi irisan kerucut melalui beragam multi media yang dipakai oleh guru-guru matematika kita. Salah satu yang dapat digunakan oleh guru-guru matematika yang hebat adalah GeoGebra. Untuk itu, seorang guru matematika harus sudah menginstal GeoGebra pada versi yang paling baru.
Untuk membuat simulasi irisan kerucut, silahkan ikuti langkah-langkah berikut:
  1. Pastikan membuka GeoGebra pada tampilan 3 dimensi
  2. Buat kerucut
  3. Buat bidang yang melalui tiga titik dan berada pada tiga sumbu x, y, dan z
  4. Buat irisan kerucutnya, dan tampilkan dalam bidang 2 dimensi
  5. Lakukan beragam posisi bidang atau kerucut untuk memberikan gambaran real dari bentuk irisan kerucut
  6. Jangan lupa memberikan penjelasan atau memberi tugas diskusi tentang hasil dari irisan kerucut
Langkah-langkah membuat simulasi irisan kerucut di atas, terangkum dalam vidio tutorial membuat irisan kerucut berikut ini: (Jangan lupa klik subcribe, like dan tanda lonceng di Chanel Youtube-nya ya)


Selain itu, kita juga dapat memanfaatkan smartphone android yang terlebih dahulu diinstal aplikasi 3d Grapher (Aplikasi GeoGebra 3 Dimensi untuk Android). Tutorialnya dapat disimak berikut ini:


Selamat mencoba dan semoga berhasil, hal-hal lain terkait irisan kerucut dapat didiskusikan pada form komentar di bawah ini. Siapapun boleh berkomentar dan menjawab untuk sharing ilmu dan informasi.


April 3, 2018

Cara Menghitung Limit Menggunakan GeoGebra

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan kata hampir atau mendekati, misalnya kecepatan motor yang dipacu oleh Rosi mendekati 350 km perjam. Contoh yang lain misalnya Ronaldo hampir mencetak goal yang kedua dalam menit-menit terakhir pertandingan. Dalam matematika kata hampir atau mendekati disebut limit.

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan. Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah. (https://id.wikipedia.org/wiki/Limit)

Pada pelajaran Matematika, menghitung limit digunakan beberapa cara atau tekhnik penyelesainnya. Tekhnik yang digunakan untuk menyelesaikan limit dapat dipilih sesuai dengan bentuk soal yang akan diselesaikan. Beberapa tekhnik yang biasa digunakan adalah:
  • Substitusi Langsung
  • Memfaktorkan
  • Mengalikan dengan Faktor Sekawan
  • Membagi dengan Pangkat Tertinggi
  • Aturan L'Hospital
Cara-cara tersebut secara teori telah dipelajari di pelajaran Matematika SMA. Pada kesempatan tulisan kali ini, kita akan menggunakan GeoGebra untuk menyelesaikan limit. GeoGebra dapat digunakan untuk menyelesaikan limit dengan cepat layaknya menggunakan kalkulator, sehingga GeoGebra bisa juga dikatakan sebagai kalkulator (Graphing Calc).

Untuk menggunakan GeoGebra sebagai alat hitung limit, akan digunakan fitur CAS (Computer Algebra System).
Gbr. 1

Mari kita gunakan untuk menghitung soal berikut:
Gunakan dan pilih beberapa format berikut:
Gbr. 2
Kita pilih format:
Limit( <Expression>, <Value> )
Ketikkan:
Limit( (x^2+4x-12)/(x-2),2 )
Akan tampil hasil seperti berikut:
Gbr. 3

Contoh yang lain, mari kita hitung limit berikut:
Ketikkan:
Limit( (1-cos(2x))/(x^2), 0 )
Akan tampil hasil sebagai berikut:
Gbr. 4

Bagi yang menggunakan versi mobile atau android, untuk menghitung nilai limit perlu diperhatikan format-format yang disebutkan pada gambar 2 di atas.

Sebagai contoh, kita akan menghitung:
Pada aplikasi GeoGebra di android (graphing calc) ketikkan seperti dalam gambar berikut:
Gbr. 5

Kita lihat bahwa hasilnya berbentuk desimal, hal ini akan berbeda ketika dikerjakan menggunakan fitur CAS seperti tampil berikut:
Gbr. 6
Agar dapat lancar menggunakan GeoGebra untuk menghitung limit, sering-seringlah berlatih menggunakan GeoGebra untuk menghitung limit atau yang lain. Selamat mencoba, jangan lupa tinggalkan komentar untuk diskusi pada form dibawah.

February 19, 2018

Tool Tangents Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Penggunaan garis singgung lingkaran dalam kehidupan sehari-hari merupakan hal yang sering dijumpai dan sangat bermanfaat. Pada mesin-mesin yang digunakan sehari-hari dapat kita jumpai contoh penggunaan garis singgung lingkaran. Mesin mobil misalnya, mesin ini menggunakan fan belt dan terhubung dengan pulley yang dapat diibaratkan sebagai garis  singgung lingkaran (Fan belt dapat dimisalkan sebagai garis yang menyinggung lingkarannya (pulley)). Jika fan belt kendor maka kinerja mesin akan terganggu, dalam hal ini berarti fan belt tidak membentuk sebuah garis singgung yang sempurna.

Melihat begitu penting dan banyak kegunaan garis singgung lingkaran ini, masalah persamaan garis singgung lingkaran menjadi salah satu materi penting dalam pembelajaran matematika yang dimulai dari pengenalan garis dan lingkaran sejak di jenjang dasar (SD). Masalah persamaan garis singgung lingkaran sebenarnya sudah pernah dibahas pada blog ini, oleh karenanya disarankan untuk membaca ulang tulisan tersebut pada link berikut: http://googebra.blogspot.co.id/2015/12/persamaan-garis-singgung-di-sebuah.html
Tulisan ini merupakan lanjutan dari yang telah ditulis terlebih dahulu, sehingga sangat penting untuk membaca ulang tulisan tersebut.

Ada dua hal yang mendasari persamaan garis singgung lingkaran yaitu:

  • Persamaan garis singgung lingkaran pada sebuah titik pada lingkaran tersebut
  • Persamaan garis singgung lingkaran pada sebuah titik di luar lingkaran tersebut
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran akan digunakan tools tangents yang ada di GeoGebra.
Gambar tools tangents


Disini akan dicontohkan cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2=4$ dari sebuah titik koordinat (3,4).  Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut ikuti petunjuk penggunaan geogebra berikut ini:
  1. Buka GeoGebra, tampilkan jendela aljabar dan sumbu koordinat xy
  2. Buatlah lingkaran $x^2 + y^2 = 4$ (membuatnya dapat menggunakan tools lingkaran atau input persamaan secara langsung)
  3. Buatlah sebuah titik koordinat (3,4) (membuatnya dapat menggunakan tools titik atau input koordinat titik secara langsung)
  4. Pilih menu tools tangents kemudian klik titik (3,4) dilanjutkan dengan lingkarannya
  5. Garis singgung dan persamaan garis singgungnya akan otomatis terbentuk 


Perhatikan hasil dari langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung lingkaran di atas pada sheet GeoGebra berikut ini:

Selain itu, silahkan lihat vidio tutorialnya berikut (jangan lupa subcribe di chanel-nya):

Demikian tutorial tentang persamaan garis singgung lingkaran, silahkan ikuti petunjuk di atas dan jika ada hal yang akan didiskusikan silahkan isi form komentar di bawah ini.
Selamat mencoba!!!

January 19, 2018

Cara Menyisipkan Grafik / Gambar dari GeoGebra 6 ke Office

Sebuah artikel atau tulisan akan menjadi semakin jelas jika dalam tulisan tersebut ditampilkan beberapa gambar atau grafik yang mendukung penjelasan atau deskripsi dari tulisan itu. Seperti kata pepatah satu gambar memiliki sejuta makna. Gambar/Grafik dapat menjadi pendukung dari sebuah tulisan jika gambar/grafik yang disajikan sesuai dengan tulisan tersebut.

Di Matematika gambar/grafik disajikan untuk menjelaskan atau menganalisis sebuah konsep yang abstrak sehingga dapat menjadi lebih konkrit. Misalnya untuk menjelaskan daerah yang memenuhi pertidaksamaan 4x+5y ≤ 20 dan 3x + y ≥ 6 dapat dengan mudah dijelaskan dengan menggunakan grafik seperti berikut ini:

Dengan menggunakan GeoGebra gambar/grafik dapat dengan mudah untuk dibuat tanpa meninggalkan konsep Matematika. Untuk yang sudah terbiasa menggambar dengan beragam aplikasi, mungkin membuat gambar/grafik Matematika bukanlah sebuah hal yang sulit, namun bagi sebagian yang lain menggambar atau membuat grafik khususnya menggunakan komputer dengan program office masih menjadi sesuatu yang sulit. Inilah yang menjadi alasan dasar kenapa tulisan dengan judul 
Cara Menyisipkan Grafik/Gambar dari GeoGebra 6 ke Office 
ini dibuat.

Tulisan semacam ini sebenarnya sudah pernah dimuat pada blog ini dengan judul 
Tulisan tersebut dibuat menggunakan GeoGebra versi 5 ke bawah. Oleh karena itu bagi yang masih menggunakan GeoGebra 5 ada baiknya membuka kembali tulisan tersebut agar yang disampaikan kali ini bisa lebih dipahami.

Sesuai dengan perkembangan dari aplikasi GeoGebra, maka cara atau tekhnik menyisipkan gambar/grafik dari GeoGebra ke office juga berkembang, selain cara-cara konvensional seperti menggunakan snipping tool atau print screen yang dapat juga digunakan.

Berikut ini Cara Menyisipkan Grafik/Gambar dari GeoGebra 6 ke Office:
  1. Buat gambar/grafik menggunakan GeoGebra 6
  2. Atur besar font, misalnya ukuran 28
  3. Atur tampilan gambar/grafik yang akan disisipkan ke office
  4. Dari menu file pilih download as png
  5. Beri nama file tersebut dengan ekstensi .png
  6. Dari office word sisipkan gambar yang tadi disimpan seperti menyisipkan gambar pada umumnya.
Berikut ini contoh langkah-langkah saat kita akan menyisipkan gambar berikut:

Atur font

Atur tampilan grafik yang akan disisipkan

Buat file gambar dengan ekstensi png



Dari office word sisipkan gambar yang telah dibuat


Untuk melengkapi postingan ini akan dibuatkan vidio tutorial, oleh karenanya simak terus blog ini untuk mendapatkan tutorialnya.
Selamat mencoba!!!

January 5, 2018

Segiempat Konkaf

Pada pembelajaran matematika terkait geometri kita sudah mengenal bangun geometri yang bersifat konveks. Maksud dari konveks ini secara sederhana diartikan sebagai bangun datar yang memiliki diagonal didalam bangun datar tersebut. Contoh yang sudah kita kenal ada segitiga, jajargenjang, persegi panjang, persegi dan lain sebagainya.

Selain bersifat konveks, ada bangun datar yang bersifat non konveks yaitu konkaf, dan refleks. Pada segi empat juga terbagi menjadi 3 jenis, yaitu konveks, konkaf dan refleks. Pada postingan ini akan kita bahas tentang segi empat konkaf.

Menurut Sumardyono (dimuat pada buletin LIMAS edisi 27 Mei 2011 halaman 29) segiempat konkaf adalah segiempat tertutup sederhana yang non konveks, yaitu segiempat tertutup sederhana yang memiliki sifat terdapat dua titik pada interior sedemikian hingga ruas garis yang menghubungkan kedua titik, tidak semuanya berada di interior segiempat.



Pengertian tersebut selanjutnya dapat juga diartikan bahwa segiempat konkaf adalah segiempat yang memiliki diagonal di luar interior bangun tersebut atau segiempat yang memiliki sudut interior lebih dari 180 derajat.

Segiempat konkaf bentuknya mirip dengan hurf V atau bumerang atau tanda centang. Dengan menggunakan GeoGebra kita dapat mendesaian atau menggambar berbagai bentuk segiempat konkaf seperti berikut ini:




Pada tulisan selanjutnya akan dibahas tentang:

Sifat-Sifat Segiempat Konkaf

Berikut contoh segiempat konkaf dengan menggunakan GeoGebra:



October 30, 2017

Perbarui GeoGebra Mu Sekarang


GeoGebra merupakan software (perangkat lunak) matematika yang bersifat dinamis dan gratis serta multi-platform. Hal ini berarti geogebra secara legal dapat digunakan untuk semua jenis operating system, baik windows, mac, maupun android. Selain itu geogebra juga dapat digunakan  untuk semua tingkatan pendidikan, dari jenjang dasar hingga jenjang tinggi. Geogebra menggabungkan antara geometri, aljabar, tabel, grafik, statistik dan kalkulus dalam satu paket perangkat lunak yang mudah digunakan. GeoGebra telah menerima beberapa penghargaan perangkat lunak pendidikan di Eropa dan Amerika Serikat.

Seiring dengan perkembangan dan pengembangan tekhnologi perangkat lunak, geogebra juga mengalami pengembangan dengan beragam fitur dan perbaikan untuk memberikan hasil (out put) yang lebih baik. Sebagaimana dikutip pada blog geogebra, pihak  geogebra mengumumkan bahwa geogebra telah merilis versi terbaru dari geogebra dalam 2 (dua) bentuk berbeda yaitu Graphing Calculator dan  Geometry apps. Dua aplikasi ini dapat didownload langsung pada Play Store maupun App Store dan juga tersedia pada versi windows dan mac.

Sebelumnya kami juga telah memposting tentang versi terbaru dari geogebra yang dikenal dengan geogebra versi 6. Ternyata dalam perkembangannya, geogebra versi 6 dan versi sebelumnya  selanjutnya dikenal dengan istilah geogebra clasic.

Perkembangan aplikasi ini, sepertinya akan terus dilakukan mengingat operating system sebagai induk semang aplikasi ini juga senantiasa mengalami proses update secara terus menerus. Lalu bagaimana dengan pengguna geogebra melihat hal semacam ini? Ya, ada baiknya pengguna geogebra menentukan tujuan dari penggunaan geogebra itu sendiri, sehingga dapat menentukan aplikasi mana yang perlu diinstal atau dipasang. Blog geogebra berbahasa indonesia ini senantiasa akan memberikan tutorial-tutorial terbaiknya untuk membantu para pengguna geogebra di Indonesia.

Selanjtunya, versi terbaru dari geogebra dapat diunduh pada laman download resminya pada link ini

October 19, 2017

Cara Tepat Menyelesaikan Integral dengan GeoGebra

Integral merupakan  satu dari dua bagian materi besar di  kalkulus yang dikembangkan  atau dipelajari setelah materi besar lainnya yaitu diferensial (turunan). Integral dikembangkan sebagai jawaban atas pertanyaan bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensial. Sehingga dapat dikatakan integral merupakan invers dari diferensial yang juga merupakan sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan.

Penyelesaian integral dengan GeoGebra secara umum ada dua tekhnik yang dapat dipakai yaitu menggunakan (1) fitur Algebra, dan (2) fitur CAS (Computer Algebra System)

Penggunaan Fitur Algebra dan Fitur Graphics

Awalnya penyelesaian integral cukup menggunakan fitur Algebra saja dimana fitur ini merupakan fitur yang sudah ada sejak awal pengembangan GeoGebra. Penggunaan fitur algebra untuk menyelesaikan integral sebenarnya suduh mencukupi, namun memberikan hasil yang sedikit berbeda dengan jika penyelesainnya dilakukan secara manual. Misalnya untuk penyelesaian integral $\int{4x^2}dx $ akan memberikan hasil $\frac{4}{3} x^3$ dan pada tampilan grafik langsung terbentuk grafik dari $\frac{4}{3} x^3$ . Hal ini tentu kurang tepat jika dibandingkan dengan definisi integral tak tentu dimana masih terdapat nilai C  yang belum diketahui nilai pastinya. Pada hasil ini C  dianggap bernilai nol sedangkan C  sebenarnya belum dapat dipastikan bernilai nol.

Untuk penyelesaian integral tertentu nilai yang diperoleh berbentuk desimal. 
Contoh untuk $ \int_{1}^{2}{4x^2}dx$ nilainya sama dengan 9,33 dan luas daerahnya akan langsung tampil.
Integral Tertentu Menggunakan Fitur Algebra


Penggunaan Fitur CAS (Computer Algebra System)

Pada pengembangan GeoGebra selanjutnya hingga saat tulisan ini ditulis fitur CAS telah ditambahkan pada software GeoGebra. Penggunaan fitur CAS merupakan jawaban atas keinginan hasil operasi matematika yang diperoleh mendekati hasil operasi matematika jika dilakukan secara manual. Pada penyelesaian integral tak tentu hasil yang diperoleh juga menampilkan seperti hasil perhitungan manual sebagaimana definisi dari integral tak tentu.
Hasil Inetgral Tak Tentu dengan Fitur CAS
Demikian juga untuk hasil yang ditampilkan pada integral tertentu menunjukkan nilai pecahan bukan lagi berbentuk desimal.
Hasil Integral Tertentu menggunakan CAS
Dari dua pilihan menyelesaikan integral menggunakan GeoGebra pada akhirnya penentuan tekhnik diserahkan kepada masing-masing pengguna (user) sesuai dengan keperluannya, bahkan dapat pula dikombinasikan antara dua tekhnik yang ada. Selamat mencoba, semoga berhasil dan jika ada hal yang belum jelas dapat didiskusikan pada form komentar pada postingan ini.

October 4, 2017

Menghitung Jarak Titik Ke Garis Pada Ruang Dimensi Tiga


Menghitung jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga masih menjadi masalah yang menarik untuk dibahas dikarenakan masalah ini melibatkan beberapa kompetensi yang harus dikuasai. Satu kompetensi tidak dikuasai dapat dipastikan masalah menghitung jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga menjadi sulit. Kompetensi yang harus dikuasai agar dapat menyelesaikan masalah jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga antara lain: konsep ruang pada dimensi tiga, konsep jarak antara titik dan garis, phytagoras, trigonometri, perbandingan sisi segi tiga, serta kemampuan berhitung.

Untuk menyelesaikan masalah jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga konsep ruang dan jarak menjadi kompetensi inti yang harus dikuasai, karena untuk menyelesaikan masalah tersebut terlebih dahulu harus berada pada konsep ruang dan jarak, baru dilanjutkan menggunakan kompetensi pendukung bisa phytagoras, trigonometri dan segitiga atau kompetensi pendukung lainnya.

Jika langkah awal pada ruang dan jarak sudah kurang tepat, maka langkah berikutnya dapat menjadi kurang tepat juga. Cara menyelesaikan masalah pada ruang dimensi tiga pada tulisan terdahulu sudah kita posting dengan judul posting:
Teknik Cepat Menyelesaikan Soal Dimensi Tiga
Silahkan membaca ulang postingan tersebut sebagai tambahan referensi terkait masalah yang akan dibahas kali ini.

Sebagaimana judul tulisan ini  Menghitung Jarak Titik Ke Garis Pada Ruang Dimensi Tiga dan juga terkait dengan tema dari blog ini, maka penyelesaian masalahnya akan menggunakan GeoGebra dengan teknik yang baru dan lebih jitu. Namun demikian, kami sarankan agar mempelajari terlebih dahulu penyelesaian secara manualnya, karena ujian matematika saat ini masih menggunakan cara-cara manual dalam penyelesaian soalnya. Materi ini disajikan sebagai bahan pengayaan terkait dengan masalah Menghitung Jarak Titik Ke Garis Pada Ruang Dimensi Tiga menggunakan software GeoGebra dengan fasilitas CAS-nya.

Untuk memberikan contoh, akan kita coba menyelesaikan soal yang sama dengan tulisan terdahulu yang berjudul Teknik Cepat Menyelesaikan Soal Dimensi Tiga sebagai berikut:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah ....
Untuk menyelesaikan masalah tersebut ikuti langkah-langkah berikut:

  1. Siapkan lembar geogebra dengan tampilan CAS dan Graphics 3D, sebagaimana tampak pada gambar 1. 
  2. Gambarlah kubus dengan panjang rusuk 5 satuan seperti pada gambar 2.
  3. Buatlah garis FH, kemudian tentukan garis tegak lurus garis FH melalui titik C dan tentukan titik potongnya sehingga diperoleh titik I seperti tampak pada gambar 3.
  4. Hitung jarak titik C dan I menggunakan perintah "Distance( <Point>, <Object> )" pada menu input CAS dengan cara mengetikkan
    Distance( C, I )
    kemudian enter, maka akan tampil hasilnya seperti tampak pada gambar 4.


Gambar 1 sampai dengan 4 berikut merupakan ilustrasi dari langkah-langkah yang telah disebutkan untuk memperjelas langkah 1 sampai dengan 4.
Gambar 1. Tampilan CAS dan 3D Graphics pada GeoGebra

Gambar 2. Kubus dengan Panjang Rusuk 5 satuan



Gambar 3. Titik Potong Garis FH dengan Garis Tegak Lurus yang Melalui Titik C

Gambar 4. Perintah Distance untuk Menghitung Jarak antara Dua Titik

Selanjutnya untuk lebih memperjelas materi ini, berikut  disajikan tutorialnya dalam bentuk vidio:

Sebagai bahan latihan selesaikan soal-soal berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis BD adalah .... (Soal UN 2016 IPA)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah .... (Soal UN 2016 IPA)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan…. (Soal UN 2015 IPA)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik N tengah–tengah AE. Jarak titik H ke BN adalah…. (Soal UN 2015 IPA)
Jika ada hal yang belum jelas, dapat didiskusikan pada form komentar di bawah ini.
Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua.

September 24, 2017

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Menggunakan GeoGebra

Suatu pecahan mempunyai dua bagian pokok yang dikenal dengan istilah pembilang dan penyebut. Ketika suatu pecahan penyebutnya merupakan bentuk akar, maka pecahan tersebut penyebutnya dikatakan memiliki penyebut yang irasional. Penyebut yang irasional tersebut dapat dibuat menjadi penyebut yang rasional. Kenapa dikatakan penyebut rasional? Ya karena penyebut bentuk akar didalam akarnya memuat bilangan irasional, sehingga ketika sudah tidak memuat bentuk akar penyebutnya dikatakan mempunyai penyebut rasional.

Lalu apakah bilangan irasional tersebut? Untuk menjawabnya simak definisi berikut ini:
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Sebenarnya tidak ada keharusan untuk membuat penyebut dari suatu pecahan yang memuat bentuk akar untuk dirubah menjadi penyebut yang rasional, namun demikian pecahan yang memuat penyebut bentuk akar umumnya dirubah menjadi rasional agar perhitungan berikutnya menjadi lebih sederhana dan estimasi nilai dari pecahan tersebut menjadi lebih mudah untuk dipikirkan. Misalnya bentuk $\frac{1}{\sqrt{2}}$ akan menjadi lebih mudah dipikirkan nilainya ketika sudah dirasionalkan menjadi $\frac{1}{2} {\sqrt{2}}$.

Selanjutnya bagaimana cara merasionalkan penyebut pecahan yang memuat bentuk akar?

Caranya kalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan  bentuk sekawan pasangan bentuk akar penyebutnya.
Cara tersebut  sebenarnya telah dipelajari melalui mata pelajaran matematika di sekolah, sehingga pada postingan ini tidak akan dibahas contoh-contoh secara manual seperti yang dipelajari di sekolah. Namun demikian, mempelajari cara-cara manual untuk merasionalkan penyebut perlu dipelajari dan dikuasi dengan baik agar nantinya tidak mengalami kesulitan ketika harus menyelesaikan masalah matematika yang memerlukan penyelesaian manual dan memuat pecahan dengan penyebut bentuk akar.

Tulisan ini dimaksudkan sebagai bahan pengayaan bagi mereka yang sudah menguasai cara-cara manual dalam merasionalkan penyebut bentuk akar, sehingga dirasa perlu mengenalkan cara baru merasionalkan penyebut bentuk akar menggunakan sebuah aplikasi khususnya GeoGebra.

Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar menggunakan geogebra digunakan fitur CAS, sehingga yang perlu dilakukan adalah kita harus berada pada lembar CAS seperti tampak pada gambar berikut:
Tampilan CAS pada geogebra

Selanjutnya untuk merasionalkan penyebut sebuah pecahan gunakan perintah:


Rationalize( <Number> )
Keterangan:
<Number> isikan dengan pecahan bentuk akar

Untuk menggunakan perintah tersebut, ketikkan langsung pada input CAS dengan mengetikkan Rationalize(<isikan pecahan dengan penyebut bentuk akar>) kemudian enter. Secara otomatis bentuk rasional akan langsung muncul di bawah perintah tersebut.

Contoh:
Rationalize( 1/sqrt(2) )
Rationalize((2)/(sqrt(3)-2))
Rationalize((3)/(5+2*sqrt(3)))
Rationalize((3*sqrt(2)+2)/(3*sqrt(2)-2))

Hasilnya seperti terlihat pada gambar berikut:
Merasionalkan Penyebut dengan CAS pada GeoGebra
Silahkan mencoba dengan bentuk-bentuk lain yang lebih kompleks. Cara ini digunakan hanya sebagai bahan pengayaan dan pembelajaran dengan berbasis IT,  cara-cara manual masih sangat kami sarankan untuk dipelajari. Semoga bermanfaat dan selamat mencoba, untuk tutorial dalam bentuk vidio akan segera di buat dan akan segera diupdate.

Vidio Tutorial Cara Merasionalkan Penyebut Pecahan menggunakan GeoGebra simak pada chanel youtube berikut:


Contoh file GeoGebranya dapat diakses berikut ini:
Klik disini aja


September 14, 2017

Cara Jitu Menyelesaikan Program Linear

W.W. Leontife, seorang ahli ekonomi merupakan orang yang pertama mengembangkan program linear yang berupa analisis dari metode input-output (metode masukan dan keluaran). Hitchock (1941) dan Koopmans (1947) melanjutkan pengembangan program linear untuk mempelajari masalah transportasi. G.B. Dantzig (1948) selanjutnya memperkenalkan sebuah metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimum yang sering disebut dengan metode simpleks.

Program linear melibatkan masalah-masalah yang dapat dibuat menjadi sebuah model matematika berupa pertidaksamaan linear. Apabila sebuah model matematis yang dibuat dapat membantu membuat suatu prediksi yang lebih baik, maka prediksi yang dihasilkan akan sangat berarti. Dengan prediksi yang tepat maka seseoarang bisa mendapatkan laba maksimum dalam melaksanakan kegiatannya atau sebaliknya menghindari kerugian yang besar dengan mengambil resiko kerugian terkecil.

Program linear dipelajari di SMA untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear, sehingga biasanya akan dimulai dengan penyelesaian masalah sistem persamaan linear kemudian sistem pertidaksamaan linear sehingga akhirnya dapat menyelesaikan masalah program linear. Penyelesaian program linear yang dipelajari tentunya diselesaikan secara manual, oleh karenanya pada tulisan kali ini akan disajikan cara menyelesaikan program linear menggunakan geogebra sebagai bahan pengayaan materi program linear di SMA atau jenjang yang lainnya.

Tutorial atau cara menyelesaikan program linear sebenarnya telah kita tuliskan pada postingan terdahulu dengan judul posting "Penyelesaian Program Linear" atau dapat juga melihat pada link berikut ini. Berbeda dengan postingan terdahulu, postingan kali ini akan membahas teknik yang lain dan berbeda sehingga bisa saya katakan penyelesaiannya lebih jitu walaupun penyelesaiannya masih mengadopsi pada penyelesaian program linear yang telah diposting terdahulu.

Teknik ini lebih simpel atau mudah, sehingga meminimalkan kesalahan penyelesaian. Berikut ini langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan program linear menggunakan geogebra dengan jitu:
  1. Buka program GeoGebra 6 yang telah terinstall
  2. Buat tampilan/viuw: algebra, graphics, dan input bar
  3. Tuliskan pada menu input fungsi tujuan, misal dicontohkan: 6x + 5y, sehingga terdefinisi sebagai a
  4. Tuliskan kendalanya dengan membuat menjadi satu baris dengan menggunakan kombinasi tanda pertidaksamaan saja untuk garis dan tanda pertidaksamaan sama dengan pada kendala x dan y, misal dicontohkan: (3x+2y<12)∧ (3x+y<9)∧ (x≥0)∧ (y≥0)
  5. Buat garis 3x+2y=12 dan 3x+y=9 secara terpisah
  6. Buat titik potong pada masing-masing titik pojok pada daerah penyelesaian program linear, misal ditemukan titik A, B, dan C.
  7. Untuk menentukan nilai optimumnya, ketikkan pada menu input a(A), a(B), dan a(C), secara otomatis hasilnya akan tampil.

Untuk lebih jelas silahkan simak tutorial video pendukungnya berikut ini:

Selamat mencoba, semoga berhasil.
Contoh file program linear bisa didownload di sini

June 30, 2017

Simulasi Benda Putar dengan Sumbu Putar Garis ax+by+c=0

Gambar 1
Benda putar yang dibentuk dari sebuah kurva tidak selamanya berasal dari putaran kurva pada sumbu x, atau sumbu y saja. Namun terkadang benda putar tersebut diperoleh dari kurva yang diputar pada sumbu putar lainnya, misalnya pada sumbu putar y=c, sebagaimana telah dibahas pada tulisan sebelumnya dengan judul postingan "Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c". Tidak ada salahnya jika sebelum melanjutkan membaca postingan ini melihat kembali beberapa tulisan terkait dengan simulasi benda putar, khususnya untuk lebih memahami konsep rumus "surface". Berikut ini beberapa tulisan yang dapat dijadikan referensi sebelum melanjutkan:
Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra 


Sesuai dengan judul tulisan ini, kita akan membahas bagaimana caranya membuat simulasi benda putar yang sumbu putarnya adalah garis ax+by+c=0 menggunakan software GeoGebra. Pada tulisan ini digunakan software GeoGebra versi 6, bagi yang belum update tidak perlu khawatir karena tutorial yang diberikan juga dapat digunakan pada GeoGebra versi 5. Namun disarankan gunakan software yang terbaru dari GeoGebra, untuk cara mendownload dan install GeoGebra versi 6 dapat klik postingan yang lalu dengan judul: Download GeoGebra Versi 6.



Sebelum membahas benda putar dengan sumbu putar garis ax+by+c=0, kita akan membahas pada sumbu putar y=mx terlebih dahulu agar penggunaan rumus surface benar-benar dipahami secara jelas. Untuk membuat simulasi benda putar dengan sumbu putar y=mx gunakan langkah-langkah berikut ini:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=mx, kita contohkan y=2x, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya $x^3 +4$ sehingga terdefinisi sebagai g
  • Buat slider sudut alpha 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-(2a))cos(b)+(2a),(g(a)-(2a))sin(b),a,-1,1,b,0,α]
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat sebagaimana tampak seperti pada gambar 1
Bandingkan pula rumus surface yang digunakan dengan rumus surface pada benda putar pada sumbu putar y=c, seperti dalam tulisan sebelum ini: Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c, dan juga penggunaan rumus surface pada tulisan lain sebelumnya di: Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra .

Rumus surface untuk membuat benda putar yang diputar dengan sumbu putar berupa garis ax+by+c=0 tentunya akan sedikit berbeda, dimana bentuk ax+by+c=0 perlu diketahui bentuk y=mx+c terlebih dahulu. Hal ini diperlukan agar pembuatan rumus surfacenya menjadi lebih mudah. Pada contoh berikut akan disajikan benda putar yang dibentuk oleh kurva $x^2$ dan diputar pada sumbu putar berupa garis $-2x+y-3=0$, hasilnya seperti gambar 2 berikut:
Gambar 2

Berikut ini langkah-langkah yang harus dilakukan:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=mx+c, kita contohkan y=2x+3 yang juga bisa dituliskan -2x+y-3=0, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya $x2$ sehingga terdefinisi sebagai g
  • Buat slider sudut alpha 
  • Cari titik potong antara f dan g, dimana titik potong ini akan digunakan sebagai batas daerah putarnya. 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-(2a+3))cos(b)+(2a+3),(g(a)-(2a+3))sin(b),a,x(A),x(B),b,0,α]
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat sebagaimana tampak seperti pada gambar 2.
Jika masih mengalami kesulitan, silahkan simak tutorialnya berikut ini dan jangan lupa like, subcribe dan bagikan.
Demikian postingan kita kali ini, jika ada hal yang akan didiskusikan atau sekedar memberikan komentar dipersilahkan, kami sangat terbuka dengan beragam masukan untuk kemajuan dan pengembangan pengetahuan kita bersama sehingga dapat bermanfaat bagi yang memerlukan.

June 10, 2017

Simulasi Benda Putar yang Diputar Pada Sumbu y=c

Pada pembahasan masalah integral, penentuan volume benda putar merupakan bagian penting dari materi penggunaan integral. Mungkin pernah muncul pertanyaan, apa ada benda putar dalam kehidupan kita sehingga perhitungan volumenya bisa menggunakan integral? Pertanyaan semacam ini memang harus dijawab dengan tepat agar pembelajaran menghitung volume benda putar dapat bermakna dan bukan sekedar menggunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar belaka.

Sebenarnya dalam keseharian, kita senantiasa berhadapan dengan bentuk benda putar misalnya ember, drum, terompet, teropong, piring, mangkok, gelas, wajan, dan lain sebagainya. Yang mana inti dari benda putar adalah objek tiga dimensi yang alasnya berbentuk lingkaran. Lalu apa hubungannya dengan integral sehingga untuk menentukan volume beragam bentuk benda putar tersebut dapat menggunakan integral?

Untuk menjawab tersebut dapat dilakukan secara matematis atau juga dapat dijelaskan hanya dengan bantuan sebuah benda putar bagaimana benda tersebut dapat terbentuk. Masalah ini tidak akan kita bahas pada postingan kali ini, karena sebelumnya telah ditulis mengenai pembahasan benda putar, oleh karenanya silahkan dibaca  postingan-postingan terdahulu pada link berikut ini: Beragam Pembahasan Benda Putar Menggunakan GeoGebra 

Postingan kali ini, akan melengkapi pembahasan di atas yaitu bagaimana membuat simulasi benda putar yang sumbu putarnya adalah y = c. Pembahasan ini menggunakan GeoGebra versi 6, namun dalam hal penggunaan dapat digunakan untuk GeoGebra yang biasa atau klasik (versi 5).
Berikut langkah-langkah yang perlu dilakukan:
  • Buka software GeoGebra 
  • Buat garis y=c, misalnya y=2, sehingga terdefinisi sebagai f 
  • Buat kurva yang akan diputar, misalnya x^2 dengan batas 0 sampai 2 
  • Buat slider sudut alpha 
  • Tampilkan viuw 3 Dimensi, dan viuw 2 dimensi bisa tidak ditampilkan 
  • Gunakan Rumus Surface berikut:
    Surface[a,(g(a)-2)cos(b)+2,(g(a)-2)sin(b),a,0,2,b,0,α] 
  • Untuk melihat hasilnya, rubahlah nilai slider sudutnya 
  • Simulasi benda putar yang dimaksud telah selesai dibuat 
  • Untuk lebih jelasnya perhatikan tutorial pada video berikut:

Demikian postingan kita, dan selamat mencoba!!!