October 29, 2014

Penyelesaian Program Linear

GeoGebra dapat menjadi salah satu pilihan untuk memahami atau menyelesaikan masalah matematika. Program linearpun dapat dengan mudah diselesaikan oleh GeoGebra. Program linear baru dapat diselesaikan jika masalah yang berbentuk program linear sudah dalam bentuk model matematika. Masalah yang tersaji dalam bentuk soal cerita harus dibuat model matematikanya terlebih dahulu. Setelah terbentuk model matematikanya, maka GeoGebra dapat digunakan untuk membantu penyelesaiannya.

Misalkan kita akan mencari nilai minimum dari f(x,y) = 2x +10y, yang memenuhi
$\begin{eqnarray*}
 x+2y&\geq&10\\
 3x+y&\geq&15\\
 x&\geq&0\\
 y&\geq&0\\
\end{eqnarray*}$

Siapkan 3 area kerja GeoGebra: Aljabar, Grafik dan Spreadsheet.
Ketikkan fungsi tujuan pada menu input langsung, yaitu f(x,y)=2x + 10y.
Kemudian kita buat gambar garisnya terlebih dahulu, dengan cara menginputkan langsung di menu input yaitu: x + 2y =10 dan 3x + y = 15. Hal ini diperlukan untuk menentukan titik potong garisnya.
Selanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang telah ada. Untuk membuat sistem pertidaksamaan ketikkan pada menu input langsung:
x+2y>=10
3x+y>=15
x>=0
y>=0
Secara otomatis akan terbentuk daerah penyelesaian dari sistem pertidak samaan tersebut pada area grafik di GeoGebra. Daerah yang berwarna lebih pekat adalah daerah penyelesaiannya. 

Gbr. 1. Daerah Penyelesaian Berwarna lebih Pekat
Namun pada beberapa buku daerah penyelesaian dibuat berlawanan, yaitu daerah yang tidak memilik warna atau arsiran. Di GeoGebra juga disediakan fasilitas tersebut. Klik kanan pada keempat pertidaksamaan tersebut dan pilih object properties.  Pada menu style ceklislah inverse filling untuk membuat daerah penyelesaian tidak berwarna atau tidak diarsir. Untuk menentukan jenis arsiran pilihlah filling hatch.

Gbr. 2. Menu Editing Object Properties
Daerah penyelesaian terlihat sangat jelas, sehingga kita dapat menentukan titik-titik pojoknya sekarang.

Gbr. 3. Daerah Penyelesaian Terlihat Bersih
Setelah jelas daerah penyelesaiannya, sembunyikan pertidaksamaan yang ada. Kemudian tentukan titik potong garis yang ada pada titik-titik kritis/titik pojoknya.
Gbr. 4. Titik Pojok Untuk Menentukan Nilai Minimumnya
Selanjutnya pada area spreadsheet, siapkan dua kolom. Kolom Pertama tuliskan Titik dan Kolom Kedua untuk Nilai optimum.
Pada A2 ketikkan A, A3 ketikkan B, dan A4 C. Secara otomatis titik akan terbuat seperti yang ada pada gambar. Kemudian pada kolom kedua ketikkan f(A2) dan seterusnya, maka nilai dari fungsi tujuan akan terselesaikan
Gbr. 5. Nilai Optimum Yang diperoleh
Untuk lebih memahami langkah-langkah tersebut saksikan tutorialnya pada video berikut:


October 27, 2014

Membuat Simulasi Volume Benda Putar

Penggunaan Integral salah satunya adalah untuk menentukan volume dari benda putar. Materi volume benda putar akan semakin mendekati realistis jika kita mampu mengimajinasikan bagaimana sebuah kurva ketika diputar sejauh 360 derajat dapat membentuk benda putar sehingga dapat dicari volumenya. Penggunaan contoh sehari-hari juga dapat membantu pemahaman kita tentang benda putar tersebut, namun adakalanya kita merasa kesulitan menghubungkan secara abstrak bagaimana sebuah kurva ketika diputar kok dapat membentuk benda putar tersebut.

Bagi para ahli matematika kesulitan tersebut mungkin dapat diatasi, namun bagi kita yang masih mulai belajar tentang benda putar ini menjadi sebuah permasalahan tersendiri. Menggunakan media adalah salah satu cara untuk membantu kita mengatasi kesulitan pemahaman abstrak terbentuknya benda putar dari sebuah kurva yang diputar sejauh sekian derajat.


GeoGebra 5 keatas memberikan kemudahan bagi kita untuk bereksplorasi tentang terbentuknya benda putar tersebut. Misalnya kita akan membuat simulasi bagaimana terbentuknya benda putar yang di buat dari sebuah kurva $ f(x)=x^3-x^2+2$.

Pada gambar di atas, misalkan dari batas -1 hingga 1 akan dibuat benda putar yang dengan cara  memutar kurva $f(x)=x^3-x^2+2$ sejauh 360 derajat terhadap sumbu x. Maka yang perlu dipersiapkan di lembar GeoGebra kita adalah:
1. Kurvanya
2. Slider sudut
3. Tampilan 3D
4. Entery langsung di menu input:
Surface[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable 1>, <Start Value>, <End Value>, <Parameter Variable 2>, <Start Value>, <End Value> ]

Untuk poin 1, 2 dan 3 adalah hal yang sudah biasa dilakukan, untuk poin 4 akan dijelaskan sebagai berikut:
Surface merupakan perintah yang digunakan untuk membuat permukaan/kulit dari sebuah benda putar yang akan dibentuk. Permukaan akan terbentuk sesuai dengan keinginan kita jika kita masukkan kriteria sesuai dengan tujuan pembuatan benda putar tersebut. Terdapat beberapa kriteria, Expression, Parameter, dan Interval/Batasan.

Expression terdiri dari 3 karena kita bekerja pada tampilan 3D (ada sumbu x, y dan z). Secara default masing-masing expression mewakili sumbu x, sumbu y dan sumbu z.



Parameter hanya 2 jenis, karena pada pembuatan permukaan/kulit ini nanti menggunakan dua variabel, variabel pertama untuk batasan numerik dan variabel kedua untuk batasan sudut putarnya.

Baiklah langsung saja dipraktikkan, buat grafik dari f(x)=x^3-x^2+2 pada menu input. Selanjutnya buat slider sudutnya, dengan interval 0 sampai 360 derajat, kemudian berikan tampilan 3D untuk persiapan pembuatan simulasi benda putarnya.

Pada menu input ketikkan langsung:
Surface[a, f(a)cos(b), f(a)sin(b), a, -1,1, b, 0, α]
Secara otomatis terbentuklah permukaan/kulit dari benda putar yang diinginkan. Lakukan editing seperlunya dan untuk mengetahui perubahan bentuknya draglah slider sudutnya dari 0 hingga 360 derajat.

Selamat mencoba, saya yakin jika kita jeli masih ada kejanggalan dalam pembuatan simulasi ini. Silahkan sempurnakan, dan jika masih kesulitan mari kita diskusikan di kolom komentar. Semoga bermanfaat.
Untuk menambah pemahaman tentang tutorial ini, saksikan video berikut:
 

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Untuk menentukan luas daerah dapat digunakan sebuah tekhnik pengintegralan tentu. Integral tentu dapat digunakan untuk menentukan luas daerah dibawah kurva maupun antara dua kurva. Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, harus ditentukan titik potong antara dua kurva tersebut terlebih dahulu. Penentuan titik potong ini bertujuan untuk menentukan batasan integralnya atau batasan daerah yang akan dicari luasannya.

Untuk menentukan titik potong antara dua kurva dapat dilakukan dengan tekhnik substitusi. Cara-cara seperti ini tentunya sudah dipelajari di bangku sekolah khususnya SMA. Sebagai pilihan lain untuk menentukan luas daerah antara dua kurva ini dapat menggunakan GeoGebra.


Siapkan lembar kerja GeoGebra dan dua fungsi yang akan dicari luasannya. Misalnya kita akan mencari luas daerah yang terbentuk antara $f(x)=x^2$ dan $ g(x)=x$. Pada menu input langsung ketikkan f(x)=x^2 dan g(x)=x, maka akan terbentuk dua kurva pada area kerja GeoGebra. Selanjutnya tentukan titik potong antara dua kurva tersebut dengan cara klik tool intersect.

Setelah diperoleh titik potongnya, misal A dan B, maka ketikkan langsung pada menu input
IntegralBetween[g, f, x(A), x(B)]
Maksud dari perintah ini adalah, menentukan integral antara fungsi g dan f dengan batas bawah berada pada titik A dan batas atas berada pada titik B.

Selanjutnya akan terbentuk daerah luasannya dan besarnya. Lakukan editing seperlunya sesuai kebutuhan.
Gbr. Luas Daerah antara Dua Kurva

Tutorial pelengkapnya saksikan video berikut:




October 26, 2014

Luas Daerah

Dalam buku Calculus (9th edition) pembahasan integral dimulai dari pengenalan luas daerah. Pembahasan dimulai dari luas daerah dari persegi panjang hingga lingkaran. Selanjutnya untuk mengantarkan ke definisi integral diberikan contoh bagaimana menghitung luas daerah dibawah kurva $ f(x)=x^2$ dan dibatasi oleh sumbu x dan berada pada interval 0 sampai 2.

Pembahasannya lengkap sekali sehingga bagi yang kurang senang matematika jadi tambah nggak mudeng kayaknya. Yang menjadi perhatian saya pada pembahasan ini adalah disajikannya gambar  grafik $ f(x)=x^2$ yang dicari luas daerahnya dibagi dalam beberapa bagian persegi panjang. Jika diperhatikan kayaknya penjelasan dibuku ini juga bikin pusing bagi yang kurang senang matematika.

Nah supaya nggak pusing, kita buat aja gambarnya dengan GeoGebra dan bisa juga kita buat animasinya biar tambah segar.....

Gambar yang dibuat nanti ada dua seperti yang ada dalam buku Calculus (9th edition) yang ditulis oleh Varberg, Purcell dan Rigdon. Mari langsung praktik.

Siapkan lembar kerja GeoGebranya, Ketik di menu input f(x)=x^2 untuk membuat grafik dari $f(x)=x^2$. Setelah itu buat sebuah slider, misal slider a yang dibuat interval 1 hingga 100 (ini disiapkan untuk membuat banyaknya bagian persegi panjangnya). Setelah itu pada menu input ketikkan LowerSum[f, 0, 2, a]. Perintah ini maksudnya akan membuat bagian bawah kurfa f(x) dari 0 hingga 2 pada sumbu x berjumlah a bagian.

Drag slidernya apa yang terjadi...., yah itulah sebenarnya penjelasan visual dari apa yang ditulis oleh  Varberg, Purcell dan Rigdon.

Gbr. 1. LowerSum
Kemudian untuk gambar yang kedua, ketikkan pada menu input UpperSum[f, 0, 2, a]. Dengan maksud yang sama dapat kita lihat perbedaannya dimana antara perintah ini dengan perintah yang satunya bukan?

Gbr. 2. UpperSum
Kita juga bisa gabungkan kok dua gambar tadi, hasilnya dijumlahkan dan dibagi dua. Hasilnya bandingkan dengan penghitungan integral tentu nantinya. Selamat mencoba, dan yang masih bingung bisa melihat video tutorialnya juga di bawah ini.
Gbr. 3. LoweSum + UpperSum
Videonya



October 25, 2014

Histogram

Menurut situs wikipedia kata histogram berasal dari bahasa Yunani: histos, dan gramma. Pertama kali digunakan oleh Karl Pearson pada tahun 1895 untuk memetakan distribusi frekuensi dengan luasan area grafis batangan menunjukkan proporsi banyak frekuensi yang terjadi pada tiap kategori. (Wikipedia). Downing menuliskan dalam kamus matematikanya:
"A histogram is a bar diagram where the horizontal axis shows different categories of values, and the height of each bar is related to the number of observations in the corresponding category" (Downing, 2009).

Dalam buku siswa/guru mata pelajaran matematika kelas X disebutkan bahwa histogram adalah jenis    grafik    batang    yang    digunakan    untuk    menampilkan data numerik yang telah disusun dalam interval yang sama.

Dari berbagai pengertian di atas jelas bahwa histogram jenis diagram batang yang digunakan untuk menampilkan beberapa nilai yang saling berhubungan dengan nilai yang lain dan disajikan menurut arah horisontal dan Vertikal.

Pada pembelajaran matematika kelas X dengan menggunakan kurikulum 2013, materi ini dipelajari di semester ke dua. Merupakan suatu keharusan bagi guru maupun siswa untuk dapat membuat histogram. Histogram dapat dibuat secara manual maupun menggunakan beberapa software yang ada saat ini, misalnya menggunakan Ms. Word, Ms. Excel, GeoGebra dan program-program matematika yang lain. Keterampilan menggunakan program komputer untuk membuat histogram akan menjadi sebuah nilai positif baik bagi guru maupun siswa.

Menggunakan GeoGebra untuk membuat histogram dapat membantu mempermudah pekerjaan terkait dengan histogram ini. Langkah yang harus disiapkan terlebih adalah membuka lembar kerja GeoGebra yang terdiri dari tampilan input langsung, aljabar, grafik dan spreadsheet dalam satu area kerja. Selanjutnya disiapkan data yang akan dibuatkan histogramnya, misalnya adalah data yang tersaji pada tabel di buku siswa matematika kelas X semester 2 berikut:


Pada spreadsheet disiapkan tiga kolom untuk menempatkan data pada tabel tersebut. Misalnya kolom pertama diberi nama kiri, kolom kedua kanan dan kolom ketiga frekuensi. Kemudian masukkan datanya ke spreadsheet tersebut. Pengenterian data dapat manual atau dengan sedikit rumus seperti di excel.



Selanjutnya adalah pembuatan list. Diperlukan dua buah list, list pertama untuk sumbu horizontal dan list kedua untuk sumbu vertikal. Pemilihan ini sangat situasional dapat dirubah sesuai dengan keperluan. Namun untuk belajar ikuti saja terlebih dahulu apa adanya. Pembuatan list dapat dilakukan dengan melakukan blog pada kolom di spreadsheet dan klik kanan serta dipilih create list.


Setelah terbentuk dua buah list, editlah list pertama dengan cara double klik pada list tersebut, dan masukkan angka pertama pada kolom kiri dan berikan tanda koma dan OK. 
Di menu input ketikkan Histogram(list1,list2), maka secara otomatis akan terbentuk histogram. Langkah selanjutnya adalah editing seperlunya. Yang perlu menjadikan perhatian adalah untuk menempatkan sumbu vertikal tepat berhimpit dengan batas interval pada sumbu horizontal ada di menu graphics preference.

Untuk masuk ke menu ini cukup klik kanan pada area bebas kemudian pilih graphics. Pilihlah yAxis dan pada isian Cross isikan sesuai dengan keadaan yang diperlukan, misalnya 38,0 (maksudnya sumbu y akan berpotongan pada titik (38,0)).
Sekali lagi, lakukan editing sesuai dengan keperluan maka histogram telah terbentuk. Jika Anda seorang siswa lakukan presentasi dengan GeoGebra pada sesi diskusi kelompok untuk menyajikan histogram tersebut, presentasi Anda pasti akan sangat menarik, dan jika Anda adalah Guru maka Anda akan sangat terbantu jika menguasai dan mampu membuat histogram menggunakan GeoGebra.
Tutorial singkat dapat dilihat pada video berikut:

Referensi:


Downing, D. (2009). Dictionary of Mathematics Terms. NewYork: Barron's Educational Series, Inc.
Kemdikbud. (2014). Matematika SMA/MA/SMK/SMAK Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan.

 

Nilai Mutlak

Nilai mutlak pada Buku Siswa/Guru Matematika Kelas X SMA  didefinisikan sebagai jarak antara bilangan itu dengan nilai nol  pada garis bilangan. Definisi ini sama halnya dengan yang dituliskan oleh Sidebotham:
"The absolute value of a number is the distance of the number from the origin 0, measured along the number line"
(Sidebotham, 2002)
Selanjutnya definisi tersebut dituliskan seperti gambar berikut:
Gbr. 1. Definisi Nilai Mutlak Pada Buku Matematika Kelas X
Definisi tersebut sesuai juga dengan yang dituliskan oleh Downing (2009). Untuk lebih memahami definisi tersebut, pada buku siswa disajikan contoh menggambar grafik fungsi $f(x)=|x|$. Secara manual siswa dibimbing untuk memperoleh gambar dari fungsi yang dimaksud. Langkah-langkah yang diberikan sudah sangat rinci, sehingga siswa akan dengan mudah untuk dapat menyelesaikannya. Namun yang lebih penting adalah bagaimana pemahaman siswa terkait dengan nilai mutlak dan selanjutnya mampu menyampaikan kepada yang lain terkait dengan yang dipahami tersebut.

Untuk membantu pemahaman dan mempermudah penyampaian tentang konsep nilai mutlak kita dapat menggunakan GeoGebra sebagai medianya. Siapkan lembar kerja GeoGebra di laptop atau komputer kita. Selanjutnya pada menu input langsung, ketikkan fungsi nilai mutlak f(x)=abs(x). Grafik fungsi nilai mutlak $ f(x)=|x|$ telah terbentuk.


Kemudian tampilkan spreadsheet, dengan cara klik menu view dan pilih spreadsheet. Untuk memahami makna nilai mutlak, ketikkan -5 pada A1, dan ketikkan di B1 =f(A1) dan enter. Maka di B1 akan tampil nilai 5. Isikan pada kolom A selanjutnya sesuai dengan keperluan, kemudian drag saja kolom B dari B1 sampai dengan sejajar dengan kolom A yang terisi, sehingga tampil nilai secara berpasangan.

Untuk menampilkan pasangan nilai yang ada di spreadsheet, blog angka yang ada di spreadsheet kemudian klik kanan dan pilih Create List of points.
Gbr. 2. Menampilkan Pasangan Titik Pada Grafik Fungsi
 Maka secara otomatis akan tampil beberapa titik pada grafik fungsi nilai mutlak. Lakukan editing sesuai dengan keperluan untuk menjelaskan tentang nilai mutlak.
Gbr. 3. Grafik Fungsi Nilai Mutlak.

Menggunakan grafik yang telah dibuat dapat dijelaskan makna nilai mutlak. Misalnya $|-5|=5$, terlihat bahwa titik (-5,5)  berada 5 titik dari titik 0, sehingga nilai mutlaknya adalah 5. Demikian dengan yang lainnya.

Simak tutorial pendukungnya pada video berikut:
 

Referensi:
Downing, D. (2009). Dictionary of Mathematics Terms. NewYork: Barron's Educational Series, Inc.
Kemdikbud. (2014). Matematika SMA/MA/SMK/SMAK Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan.
Sidebotham, T. H. (2002). The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. New York: John Wiley & Sons. Inc.