Orthogonal Vector (Vektor Ortogonal)

Pada pembelajaran matematika di SMA dibahas tentang vektor. Ada satu istilah dalam materi vektor yang biasanya berhubungan dengan proyeksi vektor, yaitu vektor ortogonal dan beberapa buku menyebutnya dengan istilah proyeksi vektor ortogonal atau proyeksi ortogonal vektor. Lalu apa sebenarnya Vektor Ortogonal tersebut? dan mengapa juga digunakan istilah proyeksi vektor ortogonal?

Mari kita perhatikan gambar di bawah ini:

Vektor v = (3,5) akan diproyeksikan terhadap vektor u = (6,1). Hasil dari proyeksi vektor tersebut adalah sebuah vektor baru yang berhimpit di vektor u, misalnya dinamakan vektor w. Berdasarkan perhitungan manual, maka vektor w = (138/37, 23/37). Jika digambarkan akan terlihat seperti gambar berikut:

Jika diperhatikan BC tegak lurus terhadap vektor u. Penggunaan Istilah ortogonal sepertinya mengacu pada keadaan ini. Sebuah vektor diproyeksikan ke vektor lain dapat ditentukan dengan cara memproyeksikan ujung vektor tersebut ke vektor lain, dimana kita ketahui bahwa proyeksi titik ke garis atau bidang lain  hasil proyeksinya jika dihubungkan menggunakan garis atau ruas garis selalu tegak lurus dengan garis atau bidang proyeksinya. Sehingga istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi. Hal ini mengacu juga pada definisi orthogonal pada situs wikipedia yang menjelaskan bahwa:

"In geometry, two Euclidean vectors are orthogonal if they are perpendicular" (wikipedia).

Selanjutnya bagaimana jika vektor u tersebut diproyeksikan terhadap vektor v. Perhatikan gambar hasil proyeksinya berikut:

Berdasarkan gambar, definisi dan uraian di atas dapat kita ketahui bahwa ruas garis berarah BC dan AD dapat disebut sebagai vektor juga, sehingga vektor tersebut tegak lurus dengan masing-masing tempat vektor semula akan diproyeksikan, maka dapat dikatakan vektor-vektor tersebut adalah vektor yang orthogonal.

Agar penjelasan tentang proyeksi vektor ortogonal menjadi lebih mudah dapat digunakn program GeoGebra. Untuk membuat vektor proyeksi ortogonal dengan GeoGebra, dapat menggunakan beberapa konstruksi garis tegak lurus dan titik potong,

Misalnya untuk membuat proyeksi vektor v ke vektor u, maka terlebih dahulu dibua sebuah garis yang melalui titik O dan A, selanjutnya buat garis tegak lurus yang melalui titik B pada garis tersebut. Sembunyikan garis OA, kemudian buat vektor w dengan menggunakan perintah vektor dan titik (vector(C)). Buat ruas garis BC untuk memberikan ilustrasi orthogonalnya. Untuk vektor yang di R3 silahkan dicoba dengan mengadopsi langkah-langkah tersebut.