December 27, 2014

Aturan L’Hospital

Grafik berikut merupakan gambar dari fungsi
$ f(x)=\frac{ln x}{x-1}$


Pada saat x = 1, diperoleh
$ f(1)=\frac{ln(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$
Sedangkan pada gambar terlihat bahwa nilai fungsi pada saat x = 1 adalah 1. Selanjutnya mengapa terjadi yang demikian?
Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep limit. Pada saat nilai x = 1 disubstitusikan ke fungsi hasilnya adalah tak tentu, maka nilai pendekatan 1 dapat dijadikan solusi untuk menyelesaikannya.

Hal ini berarti
$\lim_{ x \to 1 }f(x)=\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}$
Nilai dari limit ini tidak dapat dicari dengan cara biasa. Namun tekhnik penyelesaian limit dengan pemfaktoran maupun dengan pendekatan geometri juga tidak dapat digunakan juga. Oleh karenanya diperlukan tekhnik penyelesaian limit yang lain. Tekhnik penyelesaian ini dikenal dengan aturan l'Hospital. Dalam buku Calculus Concepts dituliskan sebagai berikut:

Sehingga nilai limit dari permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara:
$\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{\frac{1}{x}}{1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{1}{x}=1 $
Dengan menggunakan GeoGebra penyelesaian limit tersebut diperoleh nilai yang sama yaitu 1, seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Sedangkan jika perhitungan langsung menggunakan f(1) tanpa limit, pada Geogebra menghasilkan value "undefined". Hal ini sepertinya sangat tidak masuk akal, pada saat fungsi tersebut diinputkan langsung akan terbentuk grafik yang kontinyu pada titik x = 1, namun saat titik x = 1 diinputkan langsung menghasilkan bentuk yang tidak tentu, maka solusi limit dapat digunakan untuk menjelaskan kejadian ini, sehingga pada saat x mendekati 1 maka nilai fungsinya adalah 1. Hal ini mungkin sekali terjadi pada bentuk-bentuk fungsi yang lain. Oleh karena itu jika hal ini ditemukan maka perlu diselesaikan dengan limit, dan penyelesaian limit salah satunya dapat menggunakan dalil l'Hospital.

Referensi
Buku "Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change" Edisi ke lima.

0 comments:

Post a Comment