October 30, 2015

Jarak antara Dua Titik Pada Sistem Koordinat Kartesius

Titik merupakan salah satu unsur tak terdefinisi dari geometri (Rawuh, 2009). Pada geometri bidang Euclid setiap titik diperlakukan sama, sehingga tidak ada titik yang diperlakukan istimewa (Budhi, 2011). Landasan dari geometri analitik adalah sistem koordinat, sehingga pembahasan titik akan menjadi lebih mudah jika ditempatkan pada sebuah sistem koordinat.

Perhatikan gambar berikut:
Dengan menggunakan sistem koordinat, kita dapat mengatakan bahwa titik A berada pada koordinat (1,1) dan titik B berada pada koordinat (4,3).

Dua buah titik yang berlainan dapat dicari jaraknya dengan cara mengukur panjang ruas garis yang melalui titik tersebut. Dengan sistem koordinat, kita dapat menghitung jarak dua titik tersebut menggunakan teorema Phytagoras

Jika diketahui dua titik yang berbeda misal titik $A=(x_1,y_1)$ dan titik $B=(x_2,y_2)$, maka jarak antara dua titik tersebut merupakan panjang ruas garis AB $(\overline{AB})$ yang dapat dihitung dengan $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Untuk mempermudah pemahaman tentang jarak antara dua titik ini, perhatikan simulasi jarak antara dua titik berikut:


Dengan memindahkan titik-titik di atas, kita dapat mengetahui bagaimana sebenarnya dua titik tersebut dapat dihitung jaraknya.

Referensi:
Budhi, W. S. (2011). Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka.
Rawuh. (2009). Materi Pokok Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka.

October 29, 2015

Menentukan Persamaan Lingkaran yang Menyinggung Sebuah Garis

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjari-jari $r$ secara umum dituliskan dengan $x^2+y^2=r^2$, sedangkan lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ secara umum dituliskan dengan $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Sebagai contoh kita dapat melihat gambar 1 dan gambar 2 berikut:
Gambar 1


Gambar 2
Gambar 1 adalah lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan berjari-jari 2, maka lingkaran tersebut secara aljabar dapat ditulis $x^2+y^2=4$. Gambar 2 merupakan lingkaran yang berpusat di $A=(1,2)$ dan berjari-jari 2, sehingga secara aljabar dapat ditulis juga dengan $(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

Pada ujian nasional SMA program IPA, masalah persamaan lingkaran senantiasa dikeluarkan sebagai salah satu butir soal ujian. Soal ujian tentunya masalah yang disajikan tidak datar seperti gambar dan persamaan secara umum. Soal ujian kerap sekali memunculkan masalah persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya.

Penjelasan pada buku-buku pembahasan soal ujian tentunya sudah sangat lengkap, namun tidak ada salahnya kali ini kita melihat pembahasannya secara geometri menggunakan software GeoGebra.
Mari kita simak penyelesaian salah satu soal ujian nasional tahun 2015 yang lalu dengan menggunakan GeoGebra berikut:
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y+3=0$ adalah....
Untuk menyelesaikan soal ini, buat titik pusat (1,4) dan garis $3x -4y +3 =0$ dengan cara menginput langsung pada menu input. Kemudian buatlah sebuah garis yang tegak lurus garis $x-4y+3=0$ yang melalui titik $(1,4)$. Baca juga : Membuat Garis Tegak Lurus dan Sejajar.
Selanjutnya, tentukan titik potong antara garis $3x-4y+3=0$ dengan garis tegaknya. Langkah terakhir buatlah lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan melalui titik potong yang telah ditentukan tadi.

Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Klik tombol play untuk mengetahui langkah demi langkah penyelesaiannya.

Langkah-langkah penyelesaian tersebut dapat juga dilihat pada video berikut:

Langkah yang tersaji di atas juga dapat diselesaikan secara manual. Untuk melatih keterampilan berpikir dan membuktikannya, silahkan selesaikan soal diatas secara manual dan bandingkan hasilnya. Semoga sukses menyertai kita semua.....

October 14, 2015

Menyisipkan Lembar GeoGebra ke Blog


Pembelajaran online di Indonesia saat ini tengah berkembang, hal ini dapat dilihat dengan banyaknya situs pembelajaran online yang menawarkan pembelajarannya baik semi online maupun  full online. Melalui sebuah blog, kita juga dapat membuat sebuah  materi pembelajaran yang menarik sehingga dapat kita tawarkan kepada pengguna lain.

Bagi Anda yang ingin membuat konten pembelajaran matematika di sebuah blog, dapat memanfaatkan GeoGebra sebagai alat untuk menjelaskan konsep yang dituangkan dalam blog tersebut. GeoGebra dengan berbagai fiturnya, memang sangat menarik untuk digunakan. Fitur interaktifnya dapat dinikmati oleh siapa saja. Dengan fitur interaktif ini, sangat memungkinkan materi pembelajaran yang dibuat di sebuah blog ini dapat diakses orang lain secara interaktif juga,  tanpa  harus khawatir konsep tersebut salah.

Lalu bagaimana kita dapat menyisipkan lembar GeoGebra ke dalam tulisan yang kita buat di blog? Yang harus disiapkan terlebih dahulu adalah sebuah file Geogebra yang sudah dibuat untuk melengkapi tulisan tersebut. File tersebut  upload-lah ke laman http://tube.geogebra.org/, ikuti prosedur upload file yang digunakan, sehingga file tersebut dapat ter-upload

Jika file sudah sukses ter-upload, akseslah file tersebut dan lihatlah icon disebelah kanan atas dan kliklah icon kotak-kotak sehingga muncul beberapa pilihan., dan pilihlah tombol share.


Kliklah tulisan Embed, maka akan tampil konfigurasi seperti gambar berikut:

Sesuaikan dengan spesifikasi blog Anda dengan klik tombol Show more,  kemudian kliklah Copy to Clipboard.


Pada laman blog Anda, pilih konfigurasi untuk meyisipkan kode HTML yang sudah di-copy tadi, jika Anda menggunakan blogspot aktifkan menu HTML di sebelah kiri atas.


Untuk menyisipkan, gunakan konfigurasi keyboard Ctrl V (paste). Lembar GeoGebra telah sukses disisipkan dalam tulisan di blog kita.

Contohnya dapat dilihat seperti berikut:
Sumber file: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1077537
 
Selamat mencoba, semoga kesuksesan menyertai kita.

October 10, 2015

Pembahasan Soal Jarak Titik Ke Garis (UN 2015)

Berdasarkan informasi di website http://118.98.234.22/sekretariat/hasilun/, materi geometri dimensi tiga masih menjadi salah satu materi yang terkategori sulit dalam ujian nasional. Materi geometri dimensi tiga setiap tahunnya diujikan pada ujian nasional SMA program IPA. Pada ujian nasional 2015 yang lalu, soal geometri dimensi tiga diujikan sebanyak dua (2) soal yaitu masalah jarak titik ke garis dan menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang.

Mari kita simak sebuah soal tentang menentukan jarak titik ke garis pada ujian nasional tahun 2015 berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan ....
Untuk menyelesaikannya, perlu dibuat ilustrasi/gambar agar jawaban yang diperoleh tidak salah atau terkecoh dengan pilihan jawaban yang disediakan. Dari soal dapat diperoleh gambar sebagai berikut:


Dari gambar, sekilas kita menduga jarak titik E ke MC adalah adalah ruas garis EM. Ketika ruas garis EM dihitung maka akan diperoleh jawaban yang mana jawaban tersebut ada pada salah satu jawaban yang disediakan. Namun jawaban ini merupakan pengecoh, jadi jawaban tersebut belum tepat.

Jarak titik E ke MC merupakan ruas garis yang tegak lurus dengan MC. Disini kita harus pahami bahwa MC bukanlah ruas garis, namun garis yang melalui titik M dan titik C. Sehingga, gambar dapat diperluas menjadi:

Jarak titik E ke MC dapat ditentukan dengan mencari garis tegak lurus MC yang melalui titik E, digambarkan sebagai berikut:

Dengan beberapa bantuan ruas garis, penyelesaian akan menjadi lebih mengarah ke penyelesaian berikutnya.

Dari gambar terakhir ini, terlihat ada dua segitiga yaitu segitiga EMC dan segitiga EIC. Segitiga EMC merupakan segitiga sama kaki, panjang ruas garis EM = panjang ruas garis MC, sehingga panjang ruas garis MJ merupakan tinggi dari segitiga tersebut dan dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras.

$\begin{eqnarray*}
\overline{MJ}&=&\sqrt{20-12}\\
&=&\sqrt{8}\\
&=&2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}$

Dari gambar diketahui bahwa, segitiga EMC dan segitiga EIC mempunyai satu sudut yang sama besarnya, yaitu sudut $\beta$.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus diperoleh nilai $\sin{\beta}$ pada segitiga EMC sebagai berikut:

$\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\\
&=&\frac{\sqrt{10}}{5}
 \end{eqnarray*}$

Pada segitiga IEC, berlaku juga:

 $\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\frac{\sqrt{10}}{5}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\overline{EI}&=& \frac{4\sqrt{30}}{5}
 \end{eqnarray*}$
Jadi jarak titik E ke MC adalah  $ \frac{4\sqrt{30}}{5}$ cm.

Bantuan visualisasi jarak titik E ke MC dapat dilihat berikut ini:




Selain cara di atas, dimungkinkan masih dapat diselesaikan dengan cara yang lain. Video cara menentukan jarak titik ke garis menggunakan GeoGebra bisa dilihat berikut ini:

Selamat mencoba semoga kesuksesan senantiasa menyertai kita.

October 9, 2015

Pembahasan Soal Volume Benda Putar UN 2015

Integral merupakan materi yang terkategori baru dikenal oleh siswa SMA. Pada kurikulum 2006 atau KTSP integral baru dipelajari pada kelas XII. Materi integral senantiasa menghiasi lembar soal ujian nasional SMA kuhusunya program IPA dengan jumlah soal yang cukup banyak. Soal integral dimulai dari soal kategori mudah hingga sulit. Salah satu soal yang sering muncul adalah penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Dari beberapa paket soal ujian nasional tahun 2015 yang lalu, dapat diambil sebuah soal untuk dibahas pada kesempatan kali ini yaitu:
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva $y=−x^2+ 4$, sumbu X, garis  X = 0 di kuadran I diputar mengelilingi sumbu X sejauh $360^0$ adalah ....
Untuk menyelesaikan soal ini, langkah yang paling mudah untuk dilakukan pada tahap awal adalah menggambar grafik $y=-x^2+4$. Dengan menggambar grafik tersebut, akan diketahui daerah mana yang harus diputar dan dihitung volumenya. Grafik dari soal di atas dapat divisualisasikan dengan GeoGebra sebagai berikut:



Dari gambar diperoleh kesimpulan bahwa batas integralnya adalah 0 sampai 2, maka volumenya dapat dihitung dengan cara menyelesaikan $\int_0 ^2 \pi y^2 dx $.

$\begin{eqnarray*}
\int_0 ^2 \pi y^2 dx&=&\pi \int_0^2 (-x^2+4)^2 dx \\
&=&\pi \int_0 ^2 (x^2-8x+16) dx\\
&=&\pi((\frac{x^3}{3}-4x^2+16x)|_0 ^2)\\
&=&\pi \frac{256}{15}\\
\end{eqnarray*}$

Jadi volume benda putarnya adalah $\frac{256}{15}\pi$ satuan volume. Semoga bermanfaat dan selamat mencoba, semoga sukses selalu menyertai kita.

October 8, 2015

Animasi Teorema Phytagoras

Penggunaan GeoGebra untuk membantu pembelajaran matematika memang sangat menarik, yang dulunya hanya dapat diilustrasikan dengan gambar di papan tulis kini dapat divisualisasikan dengan menggunakan animasi. Animasi bermanfaat agar konsep yang tadinya abstrak akan menjadi lebih realistik dalam pemikiran pebelajarnya.


Salah satu contohnya adalah animasi teorema Phytagoras berikut ini:

Sumber: http://tube.geogebra.org/m/3793

Dengan mendownload file GeoGebra-nya kita dapat mempelajari bagaimana membuat animasi seperti di atas. Selamat mencoba dan semoga kesuksesan selalu bersama kita.

October 6, 2015

Volume Benda Putar

Salah satu contoh penggunaan integral adalah dapat digunakan untuk menghitung volume dari benda putar. Benda putar yang terbentuk dari sebuah kurva atau lebih pada interval tertentu dapat dihitung volumenya menggunakan integral.

Bentuk benda putar yang terjadi dapat bervariasi, tergantung dari jenis kurva pembentuknya. Berdasarkan pengalaman, kerap sekali siswa jenjang SMA mengalami kesulitan dalam mengabstraksikan bentuk benda putar yang ada.

Penggunaan GeoGebra dapat menjadi salah satu pilihan untuk membantu memberikan visualisasi bentuk benda putar yang terjadi. Teknik pembuatan simulasi benda putar telah diposting pada beberapa postingan antara lain: Membuat Simulasi Volume Benda Putar dan Simulasi Benda Putar Versi 2.

Salah satu contoh simulasi benda putar dapat dilihat pada lembar GeoGebra di bawah ini:




GeoGebra hanyalah sekedar alat bantu, skenario pembelajaran masih sangat diperlukan agar penggunaan GeoGebra dapat mencapai tujuan yang diperlukan. Selamat berkreasi, semoga kesuksesan selalu menyertai kita.