December 6, 2015

Persamaan Garis Singgung di Sebuah Titik pada Lingkaran

Sebelum kita membahas tentang persamaan garis singgung lingkaran di sebuah titik pada lingkaran, ada baiknya kita lihat perbedaan antara garis yang menyinggung lingkaran, memotong lingkaran dan di luar lingkaran. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat simulasi berikut ini:


Dari simulasi di atas, kita sudah dapat membedakan bagaimana sebuah garis dikatakan menyinggung, memotong, atau di luar lingkaran. Untuk menentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran, kita akan menggunakan dua rumus yang berbeda sesuai dengan pusat lingkarannya.

Rumus yang digunakan adalah:
Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(x_1,y_1)$ yang terletak di lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $x_1x+y_1y=r^2$
Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(x_1,y_1)$ yang terletak di lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
Mari kita lihat contoh berikut!

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (3,4) pada lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah....

Penyelesaian
Untuk menentukan persamaan garisnya kita gunakan cara sebagai berikut:
$\begin{eqnarray}
x_1x+y_1y&=&25\\
3x+4y&=&25\\
\end{eqnarray}$
Jadi persamaan garis singgung lingkaran di titik (3,4) pada lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah $3x+4y=25$ seperti gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (6, -4) pada lingkaran $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ adalah....

Penyelesaian
Untuk menentukan persamaan garis singgungnya kita gunakan cara sebagai berikut:
$\begin{eqnarray}
(x_1-2)(x-2)+(y_1+1)(y+1)& = &25\\
(6-2)(x-2)+(-4+1)(y+1) &=&25\\
4(x-2)-3(y+1) &=&25\\
4x-8-3y-3 &=&25\\
4x-3y &=& 36\end{eqnarray}$
Jadi persamaan garis singgungya adalah $4x-3y=36$ seperti gambar 2 berikut.
Gambar 2
Sebelum menggunakan kedua rumus di atas, ada baiknya kita selidiki apakah titik yang diketahui terletak pada lingkaran ataukah tidak. Jika titik terletak pada lingkaran, maka hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran akan memberikan hasil yang sama dengan jari-jarinya. Jika hasil yang diperoleh tidak sama dengan nilai jari-jari, maka harus dicari cara lain untuk mencari persamaan garis singgungnya. Cara ini akan kita posting pada tulisan berikutnya.

1 comment: