February 8, 2016

Bilangan Kompleks

Pada awalnya, matematika dikembangkan hanya sebagai alat bantu penyelesaian masalah kebutuhan manusia, sehingga matematika senantiasa berkembang sesuai dengan laju perubahan zaman. Salah satu perkembangan matematika adalah pada sistem bilangan.

Bertahun-tahun para ahli matematika menyusun berbagai sistem bilangan untuk memenuhi kebutuhan penyelesaian masalah matematika yang timbul. Salah satu persoalan para ahli matematika adalah bagaimana menyelesaikan satu persamaan suku banyak yang sederhana. Penyelesaian dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dapat berupa akar-akar persamaan kuadrat yang tidak selalu merupakan bilangan real. Dengan demikian para ahli matematika merasa perlu untuk membentuk sebuah sistem bilangan baru, yang saat ini dikenal dengan nama Bilangan Kompleks. 

Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang berbentuk $a+bi$, dimana a dan b merupakan bilangan real dan $i$ adalah lambang dari bilangan baru yang dikenal dengan nama bilangan imaginer dan mempunyai sifat $i^2=-1$.

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam beberapa cara:
  1. Pada tiap bilangan $a+bi$ dapat dikaitkan sebagai pasangan bilangan real terurut $(a,b)$, sebaliknya juga tiap pasangan bilangan real terurut $(a,b)$ dapat juga dikaitkan dengan bilangan kompleks $a+bi$.
    Contoh:
    $2+5i$ dapat juga disajikan sebagai $(2,5)$.
    $(2,3)$ dapat juga disajikan sebagai $2+3i$
  2. Apabila bilangan kompleks $x+yi$ dianggap sebagai pasangan bilangan real terurut $(x,y)$, maka bilangan tersebut secara metrik dapat disajikan sebagai sebuah titik pada bidang cartesius dengan koordinat-koordinat $x$ dan $y$.
    Jika bilangan kompleks tersebut disajikan sebagai titik $(x,y)$, maka kita tidak lagi menggunakan nama sumbu $x$ atau $y$, dan juga tidak memakai nama bidang cartesius. Sehingga sumbu $x$ dikatakan sebagai sumbu real, sumbu $y$ dinamakan sebagai sumbu imaginer serta bidang cartesius dinamakan dengan bidang argand.
    Di GeoGebra, bilangan kompleks dilambangkan dengan huruf $z$, sehingga ketika kita menuliskan $2+3i$ pada menu input langsung secara otomatis akan terbentuk sebuah titik di bidang argand-nya.
  3. Bilangan kompleks $x+yi$ dapat pula disajikan sebagi sebuah vektor yang berpangkal di titik $(0,0)$ pada bidang argand.


    Dari representasi bilangan kompleks dalam bentuk vektor, maka kita dapat menentukan panjang vektor tersebut dengan cara mencari nilai mutlak bilangan kompleks tersebut. Nilai mutlak bilangan kompleks $x+yi$ didefinisikan sebagai: $\left|x+yi \right| =\sqrt{x^2+y^2}$.
    Tutorial tentang bilangan kompleks menggunakan GeoGebra dapat disimak pada video berikut:

1 comment: