October 10, 2015

Pembahasan Soal Jarak Titik Ke Garis (UN 2015)

Berdasarkan informasi di website http://118.98.234.22/sekretariat/hasilun/, materi geometri dimensi tiga masih menjadi salah satu materi yang terkategori sulit dalam ujian nasional. Materi geometri dimensi tiga setiap tahunnya diujikan pada ujian nasional SMA program IPA. Pada ujian nasional 2015 yang lalu, soal geometri dimensi tiga diujikan sebanyak dua (2) soal yaitu masalah jarak titik ke garis dan menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang.

Mari kita simak sebuah soal tentang menentukan jarak titik ke garis pada ujian nasional tahun 2015 berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan ....
Untuk menyelesaikannya, perlu dibuat ilustrasi/gambar agar jawaban yang diperoleh tidak salah atau terkecoh dengan pilihan jawaban yang disediakan. Dari soal dapat diperoleh gambar sebagai berikut:


Dari gambar, sekilas kita menduga jarak titik E ke MC adalah adalah ruas garis EM. Ketika ruas garis EM dihitung maka akan diperoleh jawaban yang mana jawaban tersebut ada pada salah satu jawaban yang disediakan. Namun jawaban ini merupakan pengecoh, jadi jawaban tersebut belum tepat.

Jarak titik E ke MC merupakan ruas garis yang tegak lurus dengan MC. Disini kita harus pahami bahwa MC bukanlah ruas garis, namun garis yang melalui titik M dan titik C. Sehingga, gambar dapat diperluas menjadi:

Jarak titik E ke MC dapat ditentukan dengan mencari garis tegak lurus MC yang melalui titik E, digambarkan sebagai berikut:

Dengan beberapa bantuan ruas garis, penyelesaian akan menjadi lebih mengarah ke penyelesaian berikutnya.

Dari gambar terakhir ini, terlihat ada dua segitiga yaitu segitiga EMC dan segitiga EIC. Segitiga EMC merupakan segitiga sama kaki, panjang ruas garis EM = panjang ruas garis MC, sehingga panjang ruas garis MJ merupakan tinggi dari segitiga tersebut dan dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras.

$\begin{eqnarray*}
\overline{MJ}&=&\sqrt{20-12}\\
&=&\sqrt{8}\\
&=&2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}$

Dari gambar diketahui bahwa, segitiga EMC dan segitiga EIC mempunyai satu sudut yang sama besarnya, yaitu sudut $\beta$.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus diperoleh nilai $\sin{\beta}$ pada segitiga EMC sebagai berikut:

$\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\\
&=&\frac{\sqrt{10}}{5}
 \end{eqnarray*}$

Pada segitiga IEC, berlaku juga:

 $\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\frac{\sqrt{10}}{5}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\overline{EI}&=& \frac{4\sqrt{30}}{5}
 \end{eqnarray*}$
Jadi jarak titik E ke MC adalah  $ \frac{4\sqrt{30}}{5}$ cm.

Bantuan visualisasi jarak titik E ke MC dapat dilihat berikut ini:




Selain cara di atas, dimungkinkan masih dapat diselesaikan dengan cara yang lain. Video cara menentukan jarak titik ke garis menggunakan GeoGebra bisa dilihat berikut ini:

Selamat mencoba semoga kesuksesan senantiasa menyertai kita.

0 comments:

Post a Comment