21 September 2018

Cara Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi

Berbicara masalah kongruen, berarti kita akan membandingkan dua bangun datar dan melihat apakah kedua bangun datar tersebut sama dan sebangun. Secara singkat dua bangun datar dikatakan kongruen jika dua bangun datar tersebut sama dan sebangun. Dua bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen, tetapi dua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun.

Sehingga dapat digeneralisasi bahwa semua bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen, tetapi semua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun. Hal ini dapat kita lihat dengan jelas pada gambar berikut:

Gbr. 1. Dua Bangun yang Kongruen
Pada gambar 1 terlihat bahwa dua bangun tersebut kongruen,  dapat dipastikan keduanya sebangun yaitu sama-sama persegi panjang. Berbeda pada gambar 2 di bawah ini:
Gbr. 2. Dua Bangun yang Tidak Kongruen
Pada gambar 2, terlihat keduanya sebangun yaitu sama-sama persegi panjang, namun keduanya tidak kongruen. Kenapa tidak kongruen? Silahkah perhatikan kedua bangun tersebut, keduanya sebangun namun ada sisi-sisi yang tidak sama panjangnya. Kemudian mungkin muncul pertanyaan berikutnya, apakah dua bangun dikatakan tidak kongruen jika hanya panjang sisi-sisinya tidak sama? Untuk menjawabnya perhatikan gambar 3 berikut:
Gbr. 3. Dua Bangun yang Tidak Kongruen
Dari gambar 3 terlihat panjang sisi-sisinya sama dan bentuk bangun sama, yaitu persegi empat, namun ternyata sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama, sehingga dapat dikatakan dua bangun tersebut tidak kogruen.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

  1. Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.
  2. Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:
    (i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan
    (ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Agar lebih memahami masalah kongruen, dapat dibuatkan media interaktif menggunakan GeoGebra. Ada dua cara yang digunakan untuk membuat media interaktif menggunakan GeoGebra yaitu: Dengan Rotasi dan Tranlasi. Pada tulisan kali ini akan dibahas cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan rotasi, untuk cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan translasi akan disajikan pada tulisan berikutnya.
Baiklah, langsung saja kita bahas cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan rotasi menggunakan GeoGebra sebagai berikut:
  1. Buka aplikasi GeoGebra.
  2. Buat sebuah poligon (bisa poligon reguler atau poligon biasa), sehingga terdefinisi dengan nama poligon misal "q1".
  3. Buat slider sudut, misalnya slider α .
  4. Buat sebuah perintah dengan format "Rotate( <Object>, <Angle> )", misal dengan menginputkan Rotate( q1, α ) kemudian tekan enter.
  5. Gerakkan slider, atau poligon ke arah mana saja sehingga medianya menjadi interaktif.
Hasilnya dapat kita lihat sebagai berikut:
Jika ada hal yang diperlukan, mari diskusikan dengan mengisi format komentar di bawah ini dan jangan lupa like dan share artikel ini.

Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua!

11 September 2018

Cara Membuat Simulasi Garis Lurus

Dalam kehidupan sehari-hari, garis merupakan unsur yang umum digunakan. Secara umum dikatakan bahwa bagian yang lurus adalah garis, namun mungkin saja yang dikatakan garis tersebut adalah bagian dari garis yaitu ruas garis. Ya, memang secara umum yang sering kita jumpai dan gunakan sebenarnya adalah ruas garis. Kenapa dikatakan ruas garis? Dikatakan ruas garis karena bagian yang lurus tersebut biasanya dapat diukur berapa panjangnya. Karena dapat diukur panjangnya maka dikatakan ruas garis, sedangkan garis sendiri sebenarnya panjangnya tak terhingga karena garis tidak mempunyai ujung pangkal dan ujung akhir. Yang memiliki ujung adalah ruas garis dan sinar garis.

Di matematika garis dituliskan dalam sebuah persamaan garis yang dikenal dengan persamaan linear. Garis direpresentasikan dalam sebuah persamaan garis dengan bentuk umum y = ax + b.

Untuk menggambar garis, diperlukan dua buah titik koordinat yang ada pada bidang kartesius. Biasanya, dibuat atau dicari titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y, Dua buah titik koordinat tersebut kemudian dihubungkan dengan garis lurus.

Dengan menggunakan GeoGebra, garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Cukup mengetikkan persamaan garisnya, gambar akan langsung terbentuk. Misalnya untuk menggambar y = 2x -3, cukup ketikkan saja 2x-3 atau y=2x-3,  secara langsung akan terbentuk gambar dari persamaan garis tersebut seperti tampak pada gambar berikut:

Selain membuat langsung gambar, GeoGebra dapat digunakan untuk membuat simulasi garis lurus. Cara membuat simulasi garis lurus menggunakan GeoGebra sebagai berikut:

  1. Buat dua slider, yaitu slider a dan b
  2. Buat persamaan garis dengan cara mengetikkan pada menu input y=ax+b
  3. Geser slider a atau b untuk melihat perubahan garis seiring dengan berubahnya nilai a dan b
Hasil simulasi dapat dilihat pada tampilan GeoGebra berikut ini:

Dengan menggunakan simulasi garis lurus, kita dapat melihat perubahan posisi dan gradien garis dengan merubah nilai a atau b dengan cara menggeser slider a atau b.

Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua.

Cara Membuat Simulasi Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam pembelajaran matematika di sekolah, dengan demikian diharapkan setiap yang belajar matematika dapat menggunakan fungsi kuadrat menjadi fungsi yang lazim atau umum dalam matematika atau bidang lain. Fungsi kuadrat mulai dikenalkan di sekolah pada jenjang SMP dengan terlebih dahulu mempelajari tentang persamaan kuadrat. Hal-hal yang perlu dikuasai dalam  mempelajari fungsi kuadrat antara lain bagaimana mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, mencari nilai diskriminan, serta menggambar grafik fungsinya.

Berdasarkan wawancara dengan beberapa orang yang pernah belajar matematika, diperoleh kesimpulan masih ada yang mengalami kesulitan untuk menggambar grafik fungsi kuadrat. Kesulitan yang paling umum adalah mereka lupa bentuknya seperti apa. Ketika lupa bentuk grafik fungsi kuadrat, jelas tidak ada gambaran grafik yang akan dibuat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah tergantung dari fungsi kuadratnya.

Dengan menggunakan GeoGebra, kita dapat membuat grafik fungsi kuadrat dengan mudah dan cepat. cukup dengan mengetikkan fungsi kuadratnya maka grafik akan terbentuk secara otomatis. Sebagai contoh seperti gambar berikut:

Selain gambar langsung, dengan GeoGebra dapat juga dibuat sebuah simulasi grafik fungsi kuadrat. Berikut ini langkah-langkah yang dapat digunakan untuk membuat simulasi grafik fungsi kuadrat:

  1. Buat tiga buah slider: a, b, dan c
  2. Buat fungsi kuadrat dengan mengetikkan f(x)=ax^2+bx+c
  3. Gerakkan slider untuk melihat simulasi grafiknya.


Berikut ini ditampilkan hasil pembuatan simulasi grafik fungsi kuadrat

Dengan menggunakan simulasi semacam ini, grafik fungsi kuadrat yang diperoleh menjadi lebih dinamis sehingga grafik yang diperoleh dapat disesuaikan dengan bentuk fungsi kuadratnya.

Selamat mencoba, dan semoga sukses untuk kita semua.

4 September 2018

Cara Menyisipkan Gambar dari GeoGebra ke Ms. Office Menggunakan Menu Exsport Image

GeoGebra sejak pertama kali dikenalkan hingga saat ini telah mengalami perkembangan dan perubahan yang cukup signifikan. Perkembangan dan perubahan terjadi dari  segi algoritma dan tampilan /interface  serta kemampuan dari aplikasi ini kalau saya katakan semakin hari semakin hebat. Kehebatan dari aplikasi ini bisa digunakan jika pengguna dari aplikasi juga mampu menggunakannya dengan tepat.

Salah satu penggunaan dari aplikasi ini adalah untuk membuat gambar atau grafik matematika dan digunakan untuk melengkapi dan menjelaskan konsep matematika yang dituangkan dalam tulisan di aplikasi lain, misalnya Microsoft Office, seperti Word, Power Point, maupun Excel. Untuk menyisipkan gambar/grafik yang dibuat di GeoGebra ke Office ada beberapa cara yang dapat digunakan. Beberapa langkah atau cara telah ditulis pada postingan-postingan berikut:


Cara Menyisipkan Grafik / Gambar dari GeoGebra 6 ke Office

Membuat Gambar Arsiran Suatu Daerah

Namun demikian, dirasa perlu untuk membuat tulisan kembali untuk mengingat kembali cara-cara menyisipkan gambar/grafik dari GeoGebra ke Office misalnya Ms. Word menggunakan fitur Exsport Image.

Berikut ini cara menyisipkan gambar atau grafik dari GeoGebra ke Ms. Word:
  1. Buat Gambar/Grafik yang akan disisipkan menggunakan GeoGebra
  2. Atur tampilan gambar/grafik yang akan disisipkan
  3. Dari menu file pilih Exsport Image dan klik Copy to Clipboard
  4. Pindah ke Ms. Word dan klik icon/tombol Paste atau "Ctrl V"
Masing-masing langkah dapat dilihat pada ilustrasi gambar berikut:
Langkah 1.
Gbr. 1. Buka Aplikasi dan Buat Gambarnya
Langkah 2.
Gbr. 2. Atur Tampilan Grafiknya
Langkah 3.
Gbr. 3.1. Dari Menu File, Pilih Exsport Image
Gbr. 3.2. Klik Copy to Clipboard
Langkah 4.
Gbr. 4. Klik Paste pada Ms. Word
Selanjutnya tinggal melakukan penyesuaian di Ms. Wordnya sesuai dengan tampilan yang diperlukan. Demikianlah Cara Menyisipkan Gambar dari GeoGebra ke Ms. Office Menggunakan Menu Exsport Image, semoga bermanfaat dan sukses selalu.

30 Agustus 2018

Penyelesaian Program Linear Menggunakan GeoGebra di Smartphone

Program linear merupakan salah satu materi pembelajaran matematika di tingkat SMA sederajat. Untuk mempelajari program linear diperlukan beberapa materi prasyarat antara lain: sistem persamaan linear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada pembelajaran matematika di SMA sederajat materi prasyarat dan materi program linear dipelajari untuk menyelesaikan masalah-masalah yang bersifat linear, baik masalah penentuan nilai maksimum maupun nilai minimum.

Dikatakan masalah-masalah yang besifat linear, karena masalah-masalah yang disajikan hanya dapat diselesaikan dengan program linear. Contoh masalah yang bersifat linear biasanya adalah masalah yang berhubungan tentang modal dengan keuntungan maksimum serta pengeluaran minimum dengan  keuntungan yang maksimum.

Untuk menyelesaikan masalah program linear, perlu dibuat sebuah model matematika dari masalah yang disajikan tersebut. Dengan model matematika yang dibuat menjadikan penyelesaian dari masalah program linear dapat diselesaikan secara sistematis dan logis. Setelah menjadi model matematika, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa cara atau pilihan. Untuk pembelajaran matematika di SMA sederajat, penyelesaiannya biasanya masih menekankan pada penyelesaian secara manual.

Pada tulisan di blog ini, penyelesaian program linear lebih ditekankan pada penggunaan aplikasi geogebra sebagai cara alternatif selain cara-cara yang sudah dipelajari pada jenjang SMA sederajat. Sebelumnya telah dibuat beberapa tulisan terkait dengan penyelesaian program linear menggunakan geogebra, yang sebaiknya dibaca terlebih dahulu antara lain:

Tulisan-tulisan yang dibuat tersebut, secara umum menggunakan geogebra di laptop atau komputer sedangkan penggunaan geogebra di smartphone untuk penyelesaian program linear belum ada. Pada tulisan atau postingan kali ini akan dibahas cara menggunakan geogebra mobile (smartphone/tablet) untuk penyelesaian program linear. Penyelesaian program linear yang dimaksud merupakan langkah terakhir ketika masalah matematika yang disajikan sudah dibuatkan model matematikanya.

Sebagai contoh, kita akan mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 5x + 4y dengan kendala: x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0.

Langkah-langkah yang digunakan antara lain:
1. Buka aplikasi geogebra di smartphone

2. Buat fungsi tujuan dengan mengetikkan 5x + 4y

3. Buat kendala dengan mengetikkan: x + y  < 8 ∧ x + 2y <  12 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0

4. Buat garis x + y = 8 dan x + 2y = 8

5. Tentukan titik-titik ekstrimnya dengan mencari titik potong menggunakan tools intersect

6. Masukkan titik-titik ekstrim yang diperoleh ke fungsi tujuan, sehingga dapat disimpulkan nilai maksimunya.

Tutorial secara singkat tersebut dapat pula disimak pada vidio berikut:

Dengan beberapa langkah tersebut, silahkan mencoba dan jika ada hal yang belum jelas silahkan meninggalkan komentar untuk diskusi lebih lanjut. Jangan lupa juga like dan subcribe di chanel kami dan share artikel ini jika bermanfaat.

19 Agustus 2018

Cara Menggambar Persegi Panjang dengan GeoGebra

Tulisan berikut merupakan lanjutan dari tulisan sebelumnya, yaitu tentang pemanfaatan GeoGebra untuk menjelaskan konsep luas pada persegi dan persegi panjang. Pada pembahasan tersebut dijelaskan tentang konsep dasar luas, dan baru dibahas pada luas persegi. Cara menggambar/membuat  Persegi Panjang  memang agak sedikit berbeda dengan membuat persegi. Perlu dilakukan beberapa langkah agar persegi panjang yang dibuat benar-benar tetap menjadi persegi panjang dalam berbagai kondisi. Langkah-langkah yang dilakukan dalam GeoGebra ini biasa disebut sebagai konstruksi bangun.

Untuk menggambar persegi panjang dengan GeoGebra atau mengkonstruksi persegi panjang digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Siapkan lembar kerja GeoGebra  baik pada laptop ataupun smartphone dengan menampilkan grid-nya


2. Buat sebuah garis yang melalui titik A dan B dengan menggunakan tools line

3. Buat garis tegak lurus melalui titik A dan B menggunakan tools perpendicular line

4. Buat sebuah titik (misal titik C) pada salah satu garis yang baru saja dibuat, dengan menggunakan tools point on object

5. Buat sebuah garis tegak lurus melalui titik C tersebut dengan menggunakan tools perpendicular line. Jika langkah-langkah yang dilakukan tepat akan terlihat seperti berikut ini

6. Sembunyikan garis-garis yang dibuat dengan cara klik bulatan kecil di sebelah kiri pada masing-masing garis

7. Gunakan tools polygon untuk membuat persegi panjang ABCD

Persegi panjang pun telah selesai dibuat, agar lebih jelas simak tutorialnya pada vidio berikut:


Jika menggunakan smartphone android sebagai berikut:

Selamat mencoba, jangan lupa like, subcribe di chanel You Tube serta share artikel ini jika bermanfaat.

16 Agustus 2018

Pemanfaatan GeoGebra untuk Menjelaskan Konsep Luas Persegi dan Persegi Panjang

Sebelum menulis lebih lanjut, terlebih dahulu akan disampaikan pengalaman belajar matematika yang pernah saya alami terkait dengan luas daerah khususnya luas daerah persegi dan persegi panjang. Kenapa luas persegi dan persegi panjang ditulis? Kenapa tidak ditulis saja luas daerah yang lebih rumit, misalnya luas daerah dengan menggunakan konsep integral berikut penjelasan geogebranya. Memang konsep ini cukup sederhana dan mudah, namun ternyata sering terlupakan.

Kembali ke pengalaman belajar luas persegi dan persegi panjang yang saya alami. Saya mengenal konsep luas persegi dan persegi panjang waktu belajar matematika di SD kira-kira kelas V atau kelas VI. Waktu itu belajar matematika itu ya belajar rumusnya, kemudian diberi contoh dan latihan. Dan cara semacam itu sepertinya masih dipakai juga oleh guru matematika zaman Old, dan yang nulispun sebenarnya juga guru matematika zaman Old. Walaupun saya guru matematika zaman Old, tapi tetap semangat mengejar ketertinggalan dengan guru matematika zaman Now, yang pembelajarannya lebih bervariasi dengan menggunakan beragam media. Karena saya adalah siswa produk guru matematika zaman Old, maka yang saya ingat sampai sekarang tentang konsep luas persegi dan persegi panjang adalah rumus luasnya. Luas persegi adalah sisi dikali sisi sedangkan luas persegi panjang adalah panjang kali lebar. Saya pun sangat hafal rumusan tersebut, namun waktu itu saya kurang mengerti kenapa luasnya adalah semacam itu. Karena itulah saya menulis postingan sederhana ini, dengan harapan saya dapat menggali kembali pemahaman konsep luas daerah persegi dan persegi panjang.

Untuk memahami konsep luas ini, saya membuka beberapa buku untuk referensi diantaranya Geometry dari Schaum's Outline edisi ke empat, Geometry dari Amsco, dan Elementary Geometry for College Students edisi ke lima. Secara umum disebutkan bahwa:
luas daerah merupakan jumlah satuan persegi yang menutupi permukaan daerah tersebut.
Di sini perlu diperjalas bahwa satuan persegi adalah permukaan yang tertutup persegi dengan panjang sisi-sisinya satu satuan. Perhatikan gambar berikut!

Persegi ABCD merupakan persegi dengan panjang sisi satu satuan, sehingga persegi ABCD dikatakan satuan persegi, sedangkan persegi EFGH bukan persegi satuan. Mengacu pada definisi luas, maka persegi EFGH mempunyai luas 4 satuan persegi. Mengapa demikian? ya, karena jumlah persegi satuannya dalam persegi EFGH ada 4.

Selanjutnya bagaimana dengan luas persegi panjang? Perhatikan gambar berikut!
Pada persegi panjang ABCD, luas daerahnya dapat ditentukan dengan menghitung jumlah persegi satuannya, sehingga luasnya adalah 6 satuan persegi. Pada persegi panjang EFGH luasnya adalah 15 satuan persegi.

Selanjutnya bagaimana caranya kita memanfaatkan geogebra untuk memperjelas konsep luas yang telah dijelaskan di atas? Tentunya yang kita perlukan adalah aplikasi geogebra yang telah terisntall baik  pada komputer, laptop, smartphone, ataupun tablet.

Buka aplikasi geogebra dan tampilkan kisi-kisi/ grid layaknya kertas berpetak seperti gambar berikut!
Tampilan GeoGebra pada Layar Komputer/Laptop
Tampilan GeoGebra pada Layar Smartphone
Kita buat sebuah persegi dengan menggunakan perintah pada tools reguler polygon

Tetapkan titik-titik awalnya berada pada sumbu y, seperti gambar berikut!


Geser titik A pada sumbu y ke atas atau bawah untuk melihat perubahan luasnya dengan cara memperhatikan jumlah satuan perseginya. Di sini satuan perseginya adalah grid/kotak yang ditampilkan dan mempunyai sisi satu satuan.

Perhatikan tampilan dengan menggunakan smartphone berikut!


Dengan menggeser titik A, terlihat bahwa jumlah satuan persegi-nya juga berubah, untuk menghitung luasnya tinggal dihitung jumlah satuan persegi-nya.

Untuk persegi panjang, tinggal buat sebuah persegi panjang yang dapat dirubah-rubah posisinya pada lembar/sheet geogebra dengan grid satu satuan persegi. Selamat mencoba, jika belum jelas silahkan isi komentar di bawah postingan ini untuk diskusi lebih lanjut.