Monday, December 3, 2018

Cara Menentukan Besar Sudut Garis Bersilangan

Sudut yang terbentuk oleh dua garis yang berpotongan dengan mudah dapat ditentukan, karena sudut yang terbentuk dapat dilihat secara langsung. Sudut antara dua garis yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut. Contoh seperti terlihat pada gambar berikut:
Garis BG berpotongan dengan garis EG, maka sudut yang terbentuk antara kedua garis tersebut dengan mudah dapat terlihat yaitu sudut BEG.

Namun berbeda ketika dua garis bersilangan, sudut yang terbentuk tidak dapat langsung diamati. Cara menentukan sudut antara dua garis yang bersilangan yaitu dengan cara menggeser salah  satu garis (atau keduanya), sehingga kedua garis berpotongan dan dapat ditentukan secara langsung sudut yang terbentuk.

Sebagai contoh, mari kita simak soal berikut:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Sudut antara garis EG dan garis CF adalah....
Untuk menyelesaikan soal tersebut, langkah yang harus dilakukan adalah menggambar bangun ruang atau kubus ABCD.EFGH beserta garis-garisnya sebagai berikut:
Secara visual garis EG dan CF pada gambar di atas terlihat berpotongan, namun disini perlu kemampuan spasial untuk melakukan penalaran bahwa garis EG dan CF sebenarnya tidak berpotongan. Oleh karena itu diperlukan gambar dari sisi yang lain agar terlihat bahwa garis EG dan CF bersilangan, misalnya seperti gambar berikut:

Agar terlihat lebih jelas, kita dapat menggunakan GeoGebra untuk melihat dari berbagai sisi dan mensimulasikan pergeseran garis yang bersilangan tersebut sehingga diperoleh garis yang berpotongan.



Untuk dapat menentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis EG dan CF, garis CF dapat digeser sehingga berhimpit dengan garis ED seperti gambar berikut:
Dari gambar terlihat bahwa sudut yang terbentuk adalah sudut DEG. Untuk menentukan besar sudutnya, kita dapat melihat bahwa segitiga DEG merupakan segitiga sama sisi sehingga sudut yang terbentuk adalah 60 derajat.

Wednesday, November 21, 2018

Cara Menentukan Proyeksi Vektor Menggunakan GeoGebra

Sebuah vektor yang diproyeksikan ke vektor lain akan menghasilkan sebuah vektor baru yang berada pada bidang vektor proyeksinya. Vektor hasil proyeksi dimungkinkan hasilnya berbeda dengan vektor semula maupun bidang vektor proyeksinya, dan juga ada kemungkinan mempunyai kesamaan dengan vektor semula maupun bidang proyeksinya.

Memproyeksikan vektor ke vektor yang lain prinsipnya hampir sama dengan menentukan jarak sebuah titik ke sebuah garis. Kenapa demikian? Ya karena dalam menentukan hasil dari sebuah vektor proyeksi, terlebih dahulu harus ditentukan jarak terdekat ujung vektor yang berupa sebuah titik ke sebuah garis yang berhimpit dengan vektor tersebut. Perhatikan gambar berikut:
Vektor u diproyeksikan ke vektor v, terlebih dahulu dicari garis yang tegak lurus terhadap vektor v dan melalui ujung vektor u. Selanjutnya, hasil dari vektor proyeksi ujungnya berada pada titik potong garis tegak lurus tersebut dengan garis yang berhimpit dengan vektor v, yaitu vektor w.

Vektor proyeksi yang dicari dari sebuah permasalahan proyeksi sebuah vektor ke vektor lain, secara geometri dapat ditampilkan menggunakan GeoGebra.  Sebagai contoh kita akan menentukan hasil dari proyeksi vektor a = 3i-2j+4k pada vektor b = -i+j+2k. Langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan masalah ini adalah sebagai berikut:
1. Buka aplikasi GeoGebra dengan tampilan seperti berikut:


2. Buat dua vektor a dan b dengan terlebih dahulu membuat titik A= (3,-2,4) dan B= (-1,1,2), serta O=(0,0,0); gunakan perintah Vector(A) dan Vector(B)

3. Buat sebuah garis yang berhimpit pada vektor b; yaitu garis yang melalui titik O dan B

4. Gunakan tools perpendicular line, untuk menentukan sebuah garis yang tegak lurus garis OB dan melalui titik A.


5. Selanjutnya cari titik potong garis yang tegak lurus tersebut sehingga diperoleh sebuah titik (misal titik C) yang akan menjadi titik ujung dari vektor proyeksi yang dicari.

6. Buat sebuah vektor dengan perintah Vector(C)

7. Kita dapat menyembunyikan (meng- hide) garis-garis yang telah dibuat sehingga tampilan proyeksi vektor dapat dilihat seperti berikut

Terlihat bahwa vektor proyeksi a terhadap b hasilnya setengah dari vektor b, dengan hal ini dapat disimpulkan pula bahwa panjang dari vektor proyeksinya adalah setengah dari panjang vektor b.

Dengan aplikasi GeoGebra di android, kita juga dapat menyelesaikan masalah proyeksi vektor seperti halnya menggunakan GeoGebra pada laptop atau komputer. Gunakan aplikasi 3D Grapher, tutorial dapat disaksikan pada sesi akhir tulisan ini. Selamat mencoba....

Wednesday, September 26, 2018

Cara Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Translasi

Secara sederhana penerapan kekongruenan dalam kehidupan sehari-hari dapat  dijumpai pada pemasangan ubin lantai. Ubin pada umumnya berbentuk segi empat dengan corak yang beraneka ragam. Saat ini lebih umum lantai menggunakan keramik atau granit. Keramik atau granit memiliki motif yang beraneka ragam, dengan menggunakan konsep kekongruenan pemasangan keramik atau granit menjadi lebih mudah dan indah.

Secara manual, untuk mengetahui dua bangun kongruen biasanya dilakukan dengan cara rotasi dan translasi. Untuk yang rotasi telah dibuatkan postingan dengan judul:

Cara Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi

Kali ini, disajikan cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan translasi. Translasi atau pergeseran sering dilakukan dalam kehidupan sehari-hari dengan cara menggeser atau menumpuk dua bangun menjadi satu sehingga dua bangun tersebut sama, jika belum sama biasanya bangun yang ditumpuk tersebut diputar (dirotasi) ke arah tertentu sehingga dua bangun tersebut bertumpuk/berhimpit dengan posisi yang sama dan sebangun.

Untuk menjelaskan proses tranlasi pada kekongruenan, GeoGebra dapat dimanfaatkan untuk membuat media interaktif untuk mengetahui proses translasi pada dua bangun yang kongruen. Untuk membuat media interaktif kekongruenan dengan translasi menggunakan GeoGebra, lakukan langkah-langkah berikut:

1. Siapkan lembar Geogebra dan buat sebuah vektor (misal vektor u)


Lembar GeoGebra
Vektor u

2. Buat Sebuah Poligon (misal poligon CDEF dengan definisi nama q1)

Poligon CDEF

3. Ketikkan perintah translasi pada menu input dengan format
Translate( <Object>, <Vector>), misal: Translate( q1,u )

Translate

4. Untuk melihat hasil tranlasi, dapat dilakukan dengan menggeser titik B pada vektor u


Untuk selanjutnya, dengan menggeser koordinat titik B dapat dilihat translasi dari bangun yang kongruen tersebut. Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua.

Friday, September 21, 2018

Cara Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi

Berbicara masalah kongruen, berarti kita akan membandingkan dua bangun datar dan melihat apakah kedua bangun datar tersebut sama dan sebangun. Secara singkat dua bangun datar dikatakan kongruen jika dua bangun datar tersebut sama dan sebangun. Dua bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen, tetapi dua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun.

Sehingga dapat digeneralisasi bahwa semua bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen, tetapi semua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun. Hal ini dapat kita lihat dengan jelas pada gambar berikut:

Gbr. 1. Dua Bangun yang Kongruen
Pada gambar 1 terlihat bahwa dua bangun tersebut kongruen,  dapat dipastikan keduanya sebangun yaitu sama-sama persegi panjang. Berbeda pada gambar 2 di bawah ini:
Gbr. 2. Dua Bangun yang Tidak Kongruen
Pada gambar 2, terlihat keduanya sebangun yaitu sama-sama persegi panjang, namun keduanya tidak kongruen. Kenapa tidak kongruen? Silahkah perhatikan kedua bangun tersebut, keduanya sebangun namun ada sisi-sisi yang tidak sama panjangnya. Kemudian mungkin muncul pertanyaan berikutnya, apakah dua bangun dikatakan tidak kongruen jika hanya panjang sisi-sisinya tidak sama? Untuk menjawabnya perhatikan gambar 3 berikut:
Gbr. 3. Dua Bangun yang Tidak Kongruen
Dari gambar 3 terlihat panjang sisi-sisinya sama dan bentuk bangun sama, yaitu persegi empat, namun ternyata sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama, sehingga dapat dikatakan dua bangun tersebut tidak kogruen.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

  1. Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.
  2. Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:
    (i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan
    (ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Agar lebih memahami masalah kongruen, dapat dibuatkan media interaktif menggunakan GeoGebra. Ada dua cara yang digunakan untuk membuat media interaktif menggunakan GeoGebra yaitu: Dengan Rotasi dan Tranlasi. Pada tulisan kali ini akan dibahas cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan rotasi, untuk cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan translasi akan disajikan pada tulisan berikutnya.
Baiklah, langsung saja kita bahas cara mendapatkan dua bangun kongruen dengan rotasi menggunakan GeoGebra sebagai berikut:
  1. Buka aplikasi GeoGebra.
  2. Buat sebuah poligon (bisa poligon reguler atau poligon biasa), sehingga terdefinisi dengan nama poligon misal "q1".
  3. Buat slider sudut, misalnya slider α .
  4. Buat sebuah perintah dengan format "Rotate( <Object>, <Angle> )", misal dengan menginputkan Rotate( q1, α ) kemudian tekan enter.
  5. Gerakkan slider, atau poligon ke arah mana saja sehingga medianya menjadi interaktif.
Hasilnya dapat kita lihat sebagai berikut:
Jika ada hal yang diperlukan, mari diskusikan dengan mengisi format komentar di bawah ini dan jangan lupa like dan share artikel ini.

Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua!

Tuesday, September 11, 2018

Cara Membuat Simulasi Garis Lurus

Dalam kehidupan sehari-hari, garis merupakan unsur yang umum digunakan. Secara umum dikatakan bahwa bagian yang lurus adalah garis, namun mungkin saja yang dikatakan garis tersebut adalah bagian dari garis yaitu ruas garis. Ya, memang secara umum yang sering kita jumpai dan gunakan sebenarnya adalah ruas garis. Kenapa dikatakan ruas garis? Dikatakan ruas garis karena bagian yang lurus tersebut biasanya dapat diukur berapa panjangnya. Karena dapat diukur panjangnya maka dikatakan ruas garis, sedangkan garis sendiri sebenarnya panjangnya tak terhingga karena garis tidak mempunyai ujung pangkal dan ujung akhir. Yang memiliki ujung adalah ruas garis dan sinar garis.

Di matematika garis dituliskan dalam sebuah persamaan garis yang dikenal dengan persamaan linear. Garis direpresentasikan dalam sebuah persamaan garis dengan bentuk umum y = ax + b.

Untuk menggambar garis, diperlukan dua buah titik koordinat yang ada pada bidang kartesius. Biasanya, dibuat atau dicari titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y, Dua buah titik koordinat tersebut kemudian dihubungkan dengan garis lurus.

Dengan menggunakan GeoGebra, garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Cukup mengetikkan persamaan garisnya, gambar akan langsung terbentuk. Misalnya untuk menggambar y = 2x -3, cukup ketikkan saja 2x-3 atau y=2x-3,  secara langsung akan terbentuk gambar dari persamaan garis tersebut seperti tampak pada gambar berikut:

Selain membuat langsung gambar, GeoGebra dapat digunakan untuk membuat simulasi garis lurus. Cara membuat simulasi garis lurus menggunakan GeoGebra sebagai berikut:

  1. Buat dua slider, yaitu slider a dan b
  2. Buat persamaan garis dengan cara mengetikkan pada menu input y=ax+b
  3. Geser slider a atau b untuk melihat perubahan garis seiring dengan berubahnya nilai a dan b
Hasil simulasi dapat dilihat pada tampilan GeoGebra berikut ini:

Dengan menggunakan simulasi garis lurus, kita dapat melihat perubahan posisi dan gradien garis dengan merubah nilai a atau b dengan cara menggeser slider a atau b.

Selamat mencoba, semoga sukses untuk kita semua.

Cara Membuat Simulasi Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam pembelajaran matematika di sekolah, dengan demikian diharapkan setiap yang belajar matematika dapat menggunakan fungsi kuadrat menjadi fungsi yang lazim atau umum dalam matematika atau bidang lain. Fungsi kuadrat mulai dikenalkan di sekolah pada jenjang SMP dengan terlebih dahulu mempelajari tentang persamaan kuadrat. Hal-hal yang perlu dikuasai dalam  mempelajari fungsi kuadrat antara lain bagaimana mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, mencari nilai diskriminan, serta menggambar grafik fungsinya.

Berdasarkan wawancara dengan beberapa orang yang pernah belajar matematika, diperoleh kesimpulan masih ada yang mengalami kesulitan untuk menggambar grafik fungsi kuadrat. Kesulitan yang paling umum adalah mereka lupa bentuknya seperti apa. Ketika lupa bentuk grafik fungsi kuadrat, jelas tidak ada gambaran grafik yang akan dibuat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah tergantung dari fungsi kuadratnya.

Dengan menggunakan GeoGebra, kita dapat membuat grafik fungsi kuadrat dengan mudah dan cepat. cukup dengan mengetikkan fungsi kuadratnya maka grafik akan terbentuk secara otomatis. Sebagai contoh seperti gambar berikut:

Selain gambar langsung, dengan GeoGebra dapat juga dibuat sebuah simulasi grafik fungsi kuadrat. Berikut ini langkah-langkah yang dapat digunakan untuk membuat simulasi grafik fungsi kuadrat:

  1. Buat tiga buah slider: a, b, dan c
  2. Buat fungsi kuadrat dengan mengetikkan f(x)=ax^2+bx+c
  3. Gerakkan slider untuk melihat simulasi grafiknya.


Berikut ini ditampilkan hasil pembuatan simulasi grafik fungsi kuadrat

Dengan menggunakan simulasi semacam ini, grafik fungsi kuadrat yang diperoleh menjadi lebih dinamis sehingga grafik yang diperoleh dapat disesuaikan dengan bentuk fungsi kuadratnya.

Selamat mencoba, dan semoga sukses untuk kita semua.

Tuesday, September 4, 2018

Cara Menyisipkan Gambar dari GeoGebra ke Ms. Office Menggunakan Menu Exsport Image

GeoGebra sejak pertama kali dikenalkan hingga saat ini telah mengalami perkembangan dan perubahan yang cukup signifikan. Perkembangan dan perubahan terjadi dari  segi algoritma dan tampilan /interface  serta kemampuan dari aplikasi ini kalau saya katakan semakin hari semakin hebat. Kehebatan dari aplikasi ini bisa digunakan jika pengguna dari aplikasi juga mampu menggunakannya dengan tepat.

Salah satu penggunaan dari aplikasi ini adalah untuk membuat gambar atau grafik matematika dan digunakan untuk melengkapi dan menjelaskan konsep matematika yang dituangkan dalam tulisan di aplikasi lain, misalnya Microsoft Office, seperti Word, Power Point, maupun Excel. Untuk menyisipkan gambar/grafik yang dibuat di GeoGebra ke Office ada beberapa cara yang dapat digunakan. Beberapa langkah atau cara telah ditulis pada postingan-postingan berikut:


Cara Menyisipkan Grafik / Gambar dari GeoGebra 6 ke Office

Membuat Gambar Arsiran Suatu Daerah

Namun demikian, dirasa perlu untuk membuat tulisan kembali untuk mengingat kembali cara-cara menyisipkan gambar/grafik dari GeoGebra ke Office misalnya Ms. Word menggunakan fitur Exsport Image.

Berikut ini cara menyisipkan gambar atau grafik dari GeoGebra ke Ms. Word:
  1. Buat Gambar/Grafik yang akan disisipkan menggunakan GeoGebra
  2. Atur tampilan gambar/grafik yang akan disisipkan
  3. Dari menu file pilih Exsport Image dan klik Copy to Clipboard
  4. Pindah ke Ms. Word dan klik icon/tombol Paste atau "Ctrl V"
Masing-masing langkah dapat dilihat pada ilustrasi gambar berikut:
Langkah 1.
Gbr. 1. Buka Aplikasi dan Buat Gambarnya
Langkah 2.
Gbr. 2. Atur Tampilan Grafiknya
Langkah 3.
Gbr. 3.1. Dari Menu File, Pilih Exsport Image
Gbr. 3.2. Klik Copy to Clipboard
Langkah 4.
Gbr. 4. Klik Paste pada Ms. Word
Selanjutnya tinggal melakukan penyesuaian di Ms. Wordnya sesuai dengan tampilan yang diperlukan. Demikianlah Cara Menyisipkan Gambar dari GeoGebra ke Ms. Office Menggunakan Menu Exsport Image, semoga bermanfaat dan sukses selalu.

Thursday, August 30, 2018

Penyelesaian Program Linear Menggunakan GeoGebra di Smartphone

Program linear merupakan salah satu materi pembelajaran matematika di tingkat SMA sederajat. Untuk mempelajari program linear diperlukan beberapa materi prasyarat antara lain: sistem persamaan linear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada pembelajaran matematika di SMA sederajat materi prasyarat dan materi program linear dipelajari untuk menyelesaikan masalah-masalah yang bersifat linear, baik masalah penentuan nilai maksimum maupun nilai minimum.

Dikatakan masalah-masalah yang besifat linear, karena masalah-masalah yang disajikan hanya dapat diselesaikan dengan program linear. Contoh masalah yang bersifat linear biasanya adalah masalah yang berhubungan tentang modal dengan keuntungan maksimum serta pengeluaran minimum dengan  keuntungan yang maksimum.

Untuk menyelesaikan masalah program linear, perlu dibuat sebuah model matematika dari masalah yang disajikan tersebut. Dengan model matematika yang dibuat menjadikan penyelesaian dari masalah program linear dapat diselesaikan secara sistematis dan logis. Setelah menjadi model matematika, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa cara atau pilihan. Untuk pembelajaran matematika di SMA sederajat, penyelesaiannya biasanya masih menekankan pada penyelesaian secara manual.

Pada tulisan di blog ini, penyelesaian program linear lebih ditekankan pada penggunaan aplikasi geogebra sebagai cara alternatif selain cara-cara yang sudah dipelajari pada jenjang SMA sederajat. Sebelumnya telah dibuat beberapa tulisan terkait dengan penyelesaian program linear menggunakan geogebra, yang sebaiknya dibaca terlebih dahulu antara lain:

Tulisan-tulisan yang dibuat tersebut, secara umum menggunakan geogebra di laptop atau komputer sedangkan penggunaan geogebra di smartphone untuk penyelesaian program linear belum ada. Pada tulisan atau postingan kali ini akan dibahas cara menggunakan geogebra mobile (smartphone/tablet) untuk penyelesaian program linear. Penyelesaian program linear yang dimaksud merupakan langkah terakhir ketika masalah matematika yang disajikan sudah dibuatkan model matematikanya.

Sebagai contoh, kita akan mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 5x + 4y dengan kendala: x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0.

Langkah-langkah yang digunakan antara lain:
1. Buka aplikasi geogebra di smartphone

2. Buat fungsi tujuan dengan mengetikkan 5x + 4y

3. Buat kendala dengan mengetikkan: x + y  < 8 ∧ x + 2y <  12 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0

4. Buat garis x + y = 8 dan x + 2y = 8

5. Tentukan titik-titik ekstrimnya dengan mencari titik potong menggunakan tools intersect

6. Masukkan titik-titik ekstrim yang diperoleh ke fungsi tujuan, sehingga dapat disimpulkan nilai maksimunya.

Tutorial secara singkat tersebut dapat pula disimak pada vidio berikut:

Dengan beberapa langkah tersebut, silahkan mencoba dan jika ada hal yang belum jelas silahkan meninggalkan komentar untuk diskusi lebih lanjut. Jangan lupa juga like dan subcribe di chanel kami dan share artikel ini jika bermanfaat.

Sunday, August 19, 2018

Cara Menggambar Persegi Panjang dengan GeoGebra

Tulisan berikut merupakan lanjutan dari tulisan sebelumnya, yaitu tentang pemanfaatan GeoGebra untuk menjelaskan konsep luas pada persegi dan persegi panjang. Pada pembahasan tersebut dijelaskan tentang konsep dasar luas, dan baru dibahas pada luas persegi. Cara menggambar/membuat  Persegi Panjang  memang agak sedikit berbeda dengan membuat persegi. Perlu dilakukan beberapa langkah agar persegi panjang yang dibuat benar-benar tetap menjadi persegi panjang dalam berbagai kondisi. Langkah-langkah yang dilakukan dalam GeoGebra ini biasa disebut sebagai konstruksi bangun.

Untuk menggambar persegi panjang dengan GeoGebra atau mengkonstruksi persegi panjang digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Siapkan lembar kerja GeoGebra  baik pada laptop ataupun smartphone dengan menampilkan grid-nya


2. Buat sebuah garis yang melalui titik A dan B dengan menggunakan tools line

3. Buat garis tegak lurus melalui titik A dan B menggunakan tools perpendicular line

4. Buat sebuah titik (misal titik C) pada salah satu garis yang baru saja dibuat, dengan menggunakan tools point on object

5. Buat sebuah garis tegak lurus melalui titik C tersebut dengan menggunakan tools perpendicular line. Jika langkah-langkah yang dilakukan tepat akan terlihat seperti berikut ini

6. Sembunyikan garis-garis yang dibuat dengan cara klik bulatan kecil di sebelah kiri pada masing-masing garis

7. Gunakan tools polygon untuk membuat persegi panjang ABCD

Persegi panjang pun telah selesai dibuat, agar lebih jelas simak tutorialnya pada vidio berikut:


Jika menggunakan smartphone android sebagai berikut:

Selamat mencoba, jangan lupa like, subcribe di chanel You Tube serta share artikel ini jika bermanfaat.

Thursday, August 16, 2018

Pemanfaatan GeoGebra untuk Menjelaskan Konsep Luas Persegi dan Persegi Panjang

Sebelum menulis lebih lanjut, terlebih dahulu akan disampaikan pengalaman belajar matematika yang pernah saya alami terkait dengan luas daerah khususnya luas daerah persegi dan persegi panjang. Kenapa luas persegi dan persegi panjang ditulis? Kenapa tidak ditulis saja luas daerah yang lebih rumit, misalnya luas daerah dengan menggunakan konsep integral berikut penjelasan geogebranya. Memang konsep ini cukup sederhana dan mudah, namun ternyata sering terlupakan.

Kembali ke pengalaman belajar luas persegi dan persegi panjang yang saya alami. Saya mengenal konsep luas persegi dan persegi panjang waktu belajar matematika di SD kira-kira kelas V atau kelas VI. Waktu itu belajar matematika itu ya belajar rumusnya, kemudian diberi contoh dan latihan. Dan cara semacam itu sepertinya masih dipakai juga oleh guru matematika zaman Old, dan yang nulispun sebenarnya juga guru matematika zaman Old. Walaupun saya guru matematika zaman Old, tapi tetap semangat mengejar ketertinggalan dengan guru matematika zaman Now, yang pembelajarannya lebih bervariasi dengan menggunakan beragam media. Karena saya adalah siswa produk guru matematika zaman Old, maka yang saya ingat sampai sekarang tentang konsep luas persegi dan persegi panjang adalah rumus luasnya. Luas persegi adalah sisi dikali sisi sedangkan luas persegi panjang adalah panjang kali lebar. Saya pun sangat hafal rumusan tersebut, namun waktu itu saya kurang mengerti kenapa luasnya adalah semacam itu. Karena itulah saya menulis postingan sederhana ini, dengan harapan saya dapat menggali kembali pemahaman konsep luas daerah persegi dan persegi panjang.

Untuk memahami konsep luas ini, saya membuka beberapa buku untuk referensi diantaranya Geometry dari Schaum's Outline edisi ke empat, Geometry dari Amsco, dan Elementary Geometry for College Students edisi ke lima. Secara umum disebutkan bahwa:
luas daerah merupakan jumlah satuan persegi yang menutupi permukaan daerah tersebut.
Di sini perlu diperjalas bahwa satuan persegi adalah permukaan yang tertutup persegi dengan panjang sisi-sisinya satu satuan. Perhatikan gambar berikut!

Persegi ABCD merupakan persegi dengan panjang sisi satu satuan, sehingga persegi ABCD dikatakan satuan persegi, sedangkan persegi EFGH bukan persegi satuan. Mengacu pada definisi luas, maka persegi EFGH mempunyai luas 4 satuan persegi. Mengapa demikian? ya, karena jumlah persegi satuannya dalam persegi EFGH ada 4.

Selanjutnya bagaimana dengan luas persegi panjang? Perhatikan gambar berikut!
Pada persegi panjang ABCD, luas daerahnya dapat ditentukan dengan menghitung jumlah persegi satuannya, sehingga luasnya adalah 6 satuan persegi. Pada persegi panjang EFGH luasnya adalah 15 satuan persegi.

Selanjutnya bagaimana caranya kita memanfaatkan geogebra untuk memperjelas konsep luas yang telah dijelaskan di atas? Tentunya yang kita perlukan adalah aplikasi geogebra yang telah terisntall baik  pada komputer, laptop, smartphone, ataupun tablet.

Buka aplikasi geogebra dan tampilkan kisi-kisi/ grid layaknya kertas berpetak seperti gambar berikut!
Tampilan GeoGebra pada Layar Komputer/Laptop
Tampilan GeoGebra pada Layar Smartphone
Kita buat sebuah persegi dengan menggunakan perintah pada tools reguler polygon

Tetapkan titik-titik awalnya berada pada sumbu y, seperti gambar berikut!


Geser titik A pada sumbu y ke atas atau bawah untuk melihat perubahan luasnya dengan cara memperhatikan jumlah satuan perseginya. Di sini satuan perseginya adalah grid/kotak yang ditampilkan dan mempunyai sisi satu satuan.

Perhatikan tampilan dengan menggunakan smartphone berikut!


Dengan menggeser titik A, terlihat bahwa jumlah satuan persegi-nya juga berubah, untuk menghitung luasnya tinggal dihitung jumlah satuan persegi-nya.

Untuk persegi panjang, tinggal buat sebuah persegi panjang yang dapat dirubah-rubah posisinya pada lembar/sheet geogebra dengan grid satu satuan persegi. Selamat mencoba, jika belum jelas silahkan isi komentar di bawah postingan ini untuk diskusi lebih lanjut.

Sunday, July 8, 2018

Menghitung Volume Bangun Ruang Menggunakan GeoGebra

Berbicara masalah bangun, maka kita akan belajar tentang Geometri. Geometri adalah cabang ilmu matematika yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang datar dan ruang. Bidang ruang biasa dikenal dengan istilah bidang tiga dimensi atau bangun ruang.  Beberapa bangun ruang dapat disebutkan berikut ini:
  • Kubus
  • Balok
  • Limas
  • Prisma
  • Tabung
  • Bola
Setiap bangun ruang memiliki volume yang cara menghitungnya berbeda-beda. Dengan GeoGebra setiap bangun ruang yang dibuat secara otomatis akan terukur berapa volume-nya. Misalnya kita membuat sebuah kubus dengan panjang rusuk 2 satuan, secara langsung volume-nya akan terukur 8 satuan volume. Perhatikan gambar berikut ini:

Misalnya kita membuat balok dengan ukuran panjang 3 satuan, lebar 2 satuan dan tinggi 2 satuan, secara otomatis volume akan terhitung 12 satuan volume. Perhatikan gambar berikut:

Sebagai contoh lagi adalah limas dengan alas persegi dengan rusuk 4 satuan dan tinggi limas 3 satuan, secara otomatis volume limas tersebut adalah 16 satuan volume.

Demikianlah beberapa contoh penggunaan GeoGebra untuk menghitung volume bangun ruang. Untuk mengetahui tata cara membuat bangun-bangun ruang, silahkan search di blog ini dengan menggunakan kata kunci bangun ruang yang dimaksud, misal kubus, limas, balok dan lainnya.
Selamat mencoba, jangan lupa kunjungi selalu blog ini untuk mengetahui perkembangan-perkembangan GeoGebra.

Sunday, May 27, 2018

Membuat Irisan Kerucut dengan GeoGebra

Pengembangan GeoGebra sampai saat ini sudah sangat berbeda dengan awal rilis GeoGebra. GeoGebra saat ini telah dapat digunakan di berbagai platform operating system, baik windows, mac, ios, maupun android. Jadi, menjadi sangat penting bagi kita untuk senantiasa mengikuti perkembangan GeoGebra. Perkembangan GeoGebra dapat diakses langsung di website resminya geogebra.org. Namun, bagi Anda yang mengalami kesulitan untuk mengikuti pada website resminya tersebut, Anda sudah tepat berlangganan dan membaca blog ini. Blog ini berusaha menyajikan perkembangan-perkembangan terkini dari GeoGebra dengan menggunakan sajian sederhana dan berbahasa Indonesia tentunya.

Irisan Kerucut Menggunakan GeoGebra


Baiklah, sesuai dengan judul yang disajikan di atas, kali ini kita akan membahas tentang irisan kerucut. Sebelumnya irisan kerucut telah dibahas pada postingan terdahulu di blog ini, jadi yang belum sempat baca, silahkan baca dulu judul berikut ini ya:


Irisan Kerucut

Macam-macam irisan kerucut yang dipelajari  antara lain:
  • lingkaran
  • elips
  • parabola
  • hiperbola
Macam-macam irisan kerucut tersebut dapat disimulasikan menggunakan GeoGebra. Tujuan membuat simulasi menggunakan GeoGebra adalah memberikan gambaran bagaimana sebuah kerucut yang dilalui oleh sebuah bidang dapat menghasilkan bermacam-macam bentuk seperti lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Pengalaman penulis, dahulu waktu belajar irisan kerucut hanya membayangkan dalam ruang imaginasi. Ketika ada sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang dengan posisi tertentu akan menghasilkan bentuk tertentu, seperti lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Dengan cukup membayangkan dalam ruang imaginasi otak ini, waktu itu penulis sudah mampu berabstraksi tentang irisan kerucut.

Untuk saat ini, kemampuan abstraksi irisan kerucut akan lebih mudah karena terbantu dengan melihat sebuah simulasi irisan kerucut melalui beragam multi media yang dipakai oleh guru-guru matematika kita. Salah satu yang dapat digunakan oleh guru-guru matematika yang hebat adalah GeoGebra. Untuk itu, seorang guru matematika harus sudah menginstal GeoGebra pada versi yang paling baru.
Untuk membuat simulasi irisan kerucut, silahkan ikuti langkah-langkah berikut:
  1. Pastikan membuka GeoGebra pada tampilan 3 dimensi
  2. Buat kerucut
  3. Buat bidang yang melalui tiga titik dan berada pada tiga sumbu x, y, dan z
  4. Buat irisan kerucutnya, dan tampilkan dalam bidang 2 dimensi
  5. Lakukan beragam posisi bidang atau kerucut untuk memberikan gambaran real dari bentuk irisan kerucut
  6. Jangan lupa memberikan penjelasan atau memberi tugas diskusi tentang hasil dari irisan kerucut
Langkah-langkah membuat simulasi irisan kerucut di atas, terangkum dalam vidio tutorial membuat irisan kerucut berikut ini: (Jangan lupa klik subcribe, like dan tanda lonceng di Chanel Youtube-nya ya)


Selain itu, kita juga dapat memanfaatkan smartphone android yang terlebih dahulu diinstal aplikasi 3d Grapher (Aplikasi GeoGebra 3 Dimensi untuk Android). Tutorialnya dapat disimak berikut ini:


Selamat mencoba dan semoga berhasil, hal-hal lain terkait irisan kerucut dapat didiskusikan pada form komentar di bawah ini. Siapapun boleh berkomentar dan menjawab untuk sharing ilmu dan informasi.