Hubungan Turunan dengan Nilai Maksimum/Minimum Fungsi

Materi turunan atau juga dikenal dengan istilah diferensial merupakan salah satu materi penting dalam matematika. Materi turunan mulai dikenalkan di sekolah pada jenjang sekolah menengah atas (SMA) atau sederajat. Sebelum mempelajari masalah turunan, akan diawali dengan mempelajari konsep limit. Konsep limit sebenarnya adalah konsep mencari nilai dari fungsi di sebuah titik yang mendekati sebuah nilai tertentu. Misalnya nilai dari variabel x yang mendekati 2 dari sebuah fungsi tertentu. x yang mendekati dua, tidak serta merta bernilai sama dengan dua. Oleh karenanya secara intuitif penentuannya dibuat menggunakan nilai pendekatan dari sebelan kiri dan kanan dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan untuk variabel x.

Pada beberapa nilai pendekatan inilah terjadi perubahan, jika perubahannya sangat kecil atau diisitilahkan dengan mendekati nol, maka nilai dari fungsi yang dicari menjadi lebih akurat. Perubahan-perubahan nilai yang mendekati nol inilah yang selanjutnya akan didefinisikan sebagai sebuah fungsi turunan atau diferensial.

Kembali kepada judul awal postingan  ini, bahwa ternyata ada hubungan antara turunan sebuah fungsi dengan nilai maksimum atau minimum fungsi tersebut. Konsep nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi sering dimunculkan dalam soal-soal ulangan maupun ujian. Terkadang, untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan nilai maksimum atau minimum fungsi terdapat kesulitan harus memutuskan menggunakan konsep atau cara yang mana dan bagaimana. Hal ini, dimungkinkan pada saat belajar konsep nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dengan menggunakan turunan dilakukan secara hafalan, sehingga konsep yang sesungguhnya menjadi terlupa karena hanya mengandalkan ingatan rumus dan konsep yang kurang bermakna.

Pada postingan kali ini, akan dijelaskan hubungan antara turunan dan nilai maksimum atau minimum fungsinya menggunakan grafik yang dibuat dengan GeoGebra. Syarat utama yang harus dikuasai tentunya menguasai konsep turunan terlebih dahulu. Ada baiknya diingatkan terlebih dahulu dengan konsep turunan yang telah jadi sebagai berikut:

Untuk memulainya akan disajikan sebuah contoh berikut:

Nilai minimum dari fungsi $f(x)=x^2-6x+8$ adalah....

Secara langsung kita dapat menyelesaikan sebagai berikut:
$f(x)=x^2-6x+8$
$f'(x)=2x-6$
$f'(x)=0$
$2x-6=0$
$2x=6$
$x=3$
x = 3, disubstitusikan ke fungsi semula, sehingga
$f(3)=3^2-6(3)+8$
$f(3)=-1$
Jadi nilai minimum fungsinya adalah -1.

Sekarang, mungkin muncul pertanyaaan kenapa turunan yang diperoleh harus disamadengankan nol. Disinilah letak hubungan antara fungsi semula dengan fungsi turunannya. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut ini

Dari gambar terlihat jelas bahwa turunan dari fungsi semula memotong sumbu x di titik (3,0). Ini memberikan penjelasan bahwa sebuah garis atau kurva yang memotong sumbu x, maka y-nya sama dengan nol, sehingga turunan yang diperoleh harus disamadengankan nol.

Dari gambar juga terlihat bahwa titik baliknya berkoordinat (3,-1), hal ini memberikan penjelasan bahwa nilai x dari turunan tersebut selanjutnya disubstitusikan ke fungsi semula dan menghasilkan nilai -1.

Ada baiknya kita buatkan contoh lain sebagai berikut:

Diketahui fungsi $f(x)=-2x^2 -8x+6$, nilai maksimum fungsi tersebut adalah....

Soal ini akan kita lihat dengan gambar yang dibuat  menggunakan GeoGebra sebagai berikut:

Dari gambar terlihat bahwa turunan fungsinya memotong sumbu x di titik (-2,0) dengan nilai maksimum sama dengan 14, sehingga jika dihubungkan maka fungsi semula diturunkan, kemudian disamadengankan nol dan dicari nilai pembuat nolnya untuk selanjutnya nilai tersebut disubstitusikan ke fungsi semula untuk mengetahui nilai maksimumnya.

Demikianlah hubungan antara turunan dengan nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi.