Fungsi Komposisi

Kegunaan GeoGebra sebagai media untuk membantu memahami konsep matematika memang sangat banyak dan telah kita bahas pada beberapa postingan di blog ini, namun masih banyak juga penggunaan GeoGebra yang belum kita bahas. Pada postingan kali ini, kita akan membahas penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah fungsi komposisi.

Sebelum membahas penggunaan GeoGebra untuk fungsi komposisi, sebaiknya kita ingat kembali apa maksud dari fungsi komposisi tersebut. Perhatikan gambar berikut:

Jika $g(x)$ merupakan fungsi yang memetakan A ke B, dan $f(x)$ adalah fungsi yang memetakan B ke C, maka fungsi tunggal yang memetakan langsung A ke C dinamakan sebagai fungsi komposisi.

Untuk menyatakan bahwa fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi, maka fungsi tunggal tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang operator bundaran ($\circ$), sehingga fungsi komposisi yang diperoleh dari $g(x)$ dan dilanjutkan dengan $f(x)$ dapat dituliskan  sebagai:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Sedangkan fungsi komposisi yang diperoleh dari $f(x)$ dan dilanjutkan dengan $g(x)$ dapat dituliskan sebagai:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Secara sederhana dapat digambarkan sebagai berikut:

Selanjutnya, bagaimana GeoGebra dapat kita gunakan untuk menjelaskan konsep fungsi komposisi ini? Kita akan menggunakan hinpunan titik $(x,y)$ dimana $x$ adalah domain (daerah asal) dan $y$ merupakan range (hasil) dari sebarang fungsi. Untuk mudahnya kita buat saja fungsi $f(x)= x+2$, dan $g(x)=3-x$, serta kita akan mencari fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$.

Pada lembar GeoGebra buatlah dua fungsi tersebut, kemudian komposisikan dengan mengetikkan $f(g(x))$ pada menu input langsung yang secara langsung akan membentuk sebuah fungsi baru yaitu $h(x)$. Selanjutnya kita tentukan sebuah titik $A=(x,y)$ pada fungsi $g(x)$. Dari titik A ini kita buat titik B yang berada pada fungsi $f(x)$ dengan koordinat $x$ pada titik ini merupakan koordinat $y$ pada titik A, dan koordinat $y$ merupakan hasil dari $f(x)$. Untuk membuatnya ketikkan pada menu input langsung B=(y(A),f(y(A))), maka titik B ini akan secara otomatis berada pada $f(x)$. Untuk menunjukkan bahwa fungsi komposisi merupakan fungsi tunggal yang langsung memetakan A ke C, buat sebuah titik C pada $h(x)$ dengan cara menginput langsung C=(x(A),h(x(A))).

Dari titik A, B, dan C ini kita dapat melihat bahwa koordinat $y$ pada titik B dan C nilainya sama, sedangkan koordinat $x$-nya berbeda. Koordinat $y$ pada titik B diperoleh dari koordinat $y$ pada titik A dan koordinat $y$ pada titik A diperoleh dari koordinat  $x$ pada titik A, sedangkan koordinat $y$ pada titik C yang nilainya sama dengan koordinat $y$ pada titik B diperoleh langsung dari koordinat titik $x$ pada titik A. Untuk lebih mudahnya perhatikan lembar GeoGebra berikut:

Perlu dipahami bersama, bahwa GeoGebra digunakan bukan untuk menggantikan fungsi kita sebagai pebelajar matematika sehingga fungsi utama penalaran kita menjadi berkurang. GeoGebra digunakan sekedar sebagai alat bantu mempermudah proses penalaran kita, sehingga kita menjadi lebih jelas memahami konsep matematika yang dimaksud.