Gradien Garis Singgung Pada Kurva

Sebuah garis yang menyinggung kurva di sembarang titik pada sebuah kurva ternyata memiliki tingkat kemiringan (derajat kemiringan) yang berbeda-beda. Hal ini dapat kita amati ketika titik yang berada pada kurva tersebut dipindahkan sebagaimana dapat disimulasikan pada lembar GeoGebra berikut:

Derajat kemiringan dari garis tersebut dikenal dengan nama gradien. Selain menggunakan satuan derajat, derajat kemiringan dapat dicari nilainya menggunakan definisi tangen. Jadi gradien dapat dicari dengan menghitung nilai tangen dari sudut yang terbentuk antara garis yang dicari gardiennya dengan sumbu horisontalnya.

Gradien biasa dilambangkan dengan huruf m, sehingga gradien dari suatu garis yang mempunyai derajat kemiringan $\alpha$ dapat ditentukan dengan cara menghitung nilai tangen-nya tersebut dan dapat dituliskan sebagai:

$m= \tan\  {\alpha}$

Sedangkan kita ketahui bahwa:

$\tan\ {\alpha}=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$

Dimana:

$\Delta{y}=y_2 - y_1$ dan $y=f(x)$, maka $\Delta{y}=\Delta{f(x)}=f(x_2)-f(x_1)$

$\Delta{x}=x_2-x_1$, dan seandainya $x_2-x_1=h$, maka $x_2=x_1+h$ mengakibatkan

$f(x_2)=f(x_1+h)$, sehingga $\Delta {f(x)}=f(x_1+h)-f(x_1)$

Jadi:
$\begin{eqnarray}
m&=&\tan\ {\alpha}\\
&=&\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\\
&=&\frac{\Delta{f(x)}}{\Delta{x}}\\
&=&\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\\
\end{eqnarray}$

Jika h mendekati nol maka:

$m=\lim_{ h \to \ 0 }\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}=f'(x_1)$

Dimana $f'(x_1)$ adalah turunan dari $f(x)$ pada $x_1$, sehingga gradien suatu garis yang menyinggung sebuah kurva di titik $(x_1,y_1)$ dapat ditentukan dengan mencari nilai turunan dari kurva (fungsi) pada titik tersebut.

Misal, gradien garis singgung kurva yang terbentuk dari sebuah fungsi $f(x)=x^2$ pada titik $(2,4)$ dapat dicari dengan cara menentukan turunan dari $f(x)=x^2$ kemudian mensubstitusikan nilai $x=2$ kedalam turunan tersebut.

$\begin{eqnarray}
m= f'(x)&=&2x\\
f'(2)&=&2(2)\\
f'(2)&=&4\\
\end{eqnarray}$

Jadi gradien (m)-nya adalah 4, seperti terlihat pada gambar berikut:

Untuk memperjelas tulisan ini, silahkan ikuti tutorial pada vidio berikut ini:

Vidio lanjutannya ada di bawah ini:

Sheet GeoGebra pendukung ada pada lembar berikut: