October 22, 2014

Jarak Titik Ke Garis (UN Matematika SMA IPA 2014)

Pada tulisan sebelumnya, telah disajikan bagaimana cara memanfaatkan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah jarak titik ke garis di ruang dimensi tiga (baca tulisannya disini). Pemahaman tentang jarak titik ke garis di ruang dimensi tiga memang sedikit berbeda dengan jarak titik ke garis bada bidang datar, oleh karenannya penyelesaian masalah jarak titik ke garis di ruang dimensi tiga akan menjadi lebih mudah jika kita bawa masalah tersebut pada ranah bidang datar terlebih dahulu.

Pada Ujian Nasional tahun 2014 yang lalu, masalah jarak titik ke garis diujikan pada jenjang SMA di Mata Pelajaran Matematika Jurusan IPA. Salah satu soal yang diujikan pada sebuah paket soal tersebut adalah:


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ....

Untuk menyelesaikan masalah ini, yang pertama harus dilakukan adalah membuat kubus ABCD.EFGH yang dimaksud.
Gbr. 1. Kubus ABCD.EFGH
Yang perlu menjadi perhatian dari soal ini adalah titik T yang terletak pada pertengahan garis HF. Maksud sebenarnya titik tersebut berada pada pertengahan ruas garis HF, bukan pada pertengahan garis HF (kita bisa bayangkan dimana letak pertengahan garis HF). Selanjutnya dibuat garis CT (ingat garis CT bukan ruas garis CT). Sengaja disini dibuat garis CT bukan ruas garis CT terlebih dahulu agar konsep sesungguhnya dari garis tidak bias.

Selanjutnya dibuat garis yang tegak lurus garis CT dan melalui titik A. Kemudian jangan lupa tentukan titik potong antara kedua garis tersebut, misalnya diberi nama titik R.
Gbr. 2. Titik Potong Garis TC dan AG
Kemudian sembunyikan garis-garis tersebut, dan untuk mempermudah pekerjaan selanjutnya buatlah ruas garis yang menghubungkan titik C dan T serta ruas garis AR. Panjang ruas garis AR inilah yang merupakan jarak titik A ke garis CT. Secara langsung panjang ruas garis AR dapat diketahui yaitu: 10,39. Namun untuk perhitungan manual diperlukan beberapa ruas garis untuk membantunya. Cara yang dapat ditempuh adalah membuat irisan bidang pada kubus tersebut. Irisan bidang dapat dibuat melalui titik A, C, G dan E sehingga terbentuklah persegi panjang ACGE dengan panjang $ 9\sqrt2$ cm dan lebar 9 cm.
Gbr. 3. Irisan Bidang yang Terbentuk
Selanjutnya dengan menggunakan gambar irisan bidang tersebut, dilakukanlah perhitungann manualnya.
Gbr. 4. Persegi Panjang
Untuk menghitung panjang ruas garis AR, maka diperlukan panjang ruas garis CT terlebih dahulu. Sedangkan untuk mencari ruas garis CT dapat digunakan teorema phytagoras pada segitiga CGT,
$ \overline {CT}=\sqrt{9^2+(\frac{9}{2}\sqrt2)^2}$
$l \overline{CT}=\sqrt{81+\frac{81}{2}}$
$ \overline{CT}=\frac{9}{2}\sqrt{6}$

Setelah itu dapat dicari panjang ruas garis AR dengan bantuan segitiga ACT, sebagai berikut:
$ \frac{9}{2}\sqrt{6}(\overline{AR})=(9\sqrt{2})9$
$ \overline{AR}=6\sqrt{3}$

Sehingga dapat disimpulkan bahwa jarak titik A ke garis CT adalah $ 6\sqrt{3}$ cm atau 6,39 cm.
Untuk tutorial penggunaan GeoGebranya dapat dilihat pada video berikut ini:


0 comments:

Post a Comment