January 31, 2016

Segi Empat Siklik

Suatu segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada keliling suatu lingkaran disebut segi empat tali busur (segi empat siklik). Titik-titik yang terletak pada keliling lingkaran di sebut titik-titik konsiklik. Perhatikan gambar 1 dan 2 berikut untuk melihat mana yang merupakan segi empat siklik dan bukan segi empat siklik.
Gambar 1. Segi Empat Siklik
Gambar 2. Bukan Segi Empat Siklik
Pada segi empat siklik berlaku hubungan sebagai berikut:
Sudut-sudut yang berhadapan dalam segi empat siklik merupakan suplemen (pelurus) satu sama lain
Sehingga dapat dikatakan bahwa:
Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat siklik sama dengan $180^{\circ}$
Untuk memahaminya, perhatikan gambar 3 berikut:
Gambar 3. Sudut Pada Segi Empat Siklik
Dari gambar 3 dapat diketahui bahwa, sudut yang saling berhadapan adalah sudut $\alpha$ dan sudut $\beta$, kemudian sudut $\gamma$ dan sudut $\delta$. Sehingga jika dijumlahkan akan berlaku:
$\alpha + \beta = 180^{\circ}$
$\gamma + \delta = 180^{\circ}$

Dengan menggunakan GeoGebra kita dapat membuat simulasi dari segi empat siklik. Untuk melihat simulasinya, gerakkan/ubahlah posisi keempat titik yang ada pada lingkaran di bawah ini!

Cara membuat simulasi seperti di atas dapat dilihat pada tutorial video berikut:

Selamat mencoba, semoga sukses, jika masih mengalami kesulitan bisa konsultasi melalui contact yang tersedia di laman contact kami


January 30, 2016

Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Dalam sebuah lingkaran kita mengenal istilah sudut pusat lingkaran dan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat dapat diartikan sebagai sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran. Sudut $\alpha$ pada gambar 1 merupakan contoh sudut pusat sebuah lingkaran.
Gambar 1
Sudut keliling diartikan sebagai sudut yang dibatasi oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada lingkaran dan titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Sudut $\beta$ pada gambar 2 merupakan contoh sudut keliling pada sebuah lingkaran.
Gambar 2
Antara sudut pusat dan sudut keliling sebuah lingkaran mempunyai hubungan sebagai berikut:
Besarnya sudut pusat adalah dua kali sudut keliling jika keduanya menghadapi busur yang sama

Untuk memahami hubungan ini, kita dapat manfaatkan GeoGebra sebagai media simulasinya.  Dengan menggerakkan titik A, B, C, atau D kita dapat melihat hubungan antara besar sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran di bawah ini.
Cara membuat simulasi di atas dapat dilihat pada vidio tutorial pembuatan simulasi sudut pusat dan sudut keliling lingkaran berikut:

Selamat mencoba, semoga keberhasilan bersama kita.

January 29, 2016

Satu, Dua, dan Tiga Dimensi

Dalam pelajaran matematika, kita mengenal istilah satu, dua, dan tiga dimensi. Uraian berikut mencoba membahas apa sebenarnya pengertian dari ketiga konsep tersebut.

Untuk menetapkan posisi sebuah titik pada sebuah garis, kita memerlukan suatu titik asal, satuan panjang, dan arah positif suatu pada garis. Posisi titik ditentukan oleh jarak dari titik asal dan arah positif yang telah kita pilih. Jarak tersebut dapat disajikan dengan satu koordinat. Oleh karena itu, garis dikatakan berdimensi satu. Perhatikan gambar 1, P berjarak 3 satuan panjang dari O dan berkoordinat 3. Q berkoordinat -1.
Gambar 1
Untuk menentukan posisi sebuah titik pada sebuah bidang, diperlukan dua koordinat. Oleh karena itu, kita katakan bahwa sebuah bidang berdimensi dua. Perhatikan gambar 2, titik P ditentukan oleh oleh koordinat-koordinat cartesiusnya $(3,1)$.


Gambar 2

 Pada gambar 3, titik Q ditentukan oleh koordinat-koordinat polarnya $(5,37^{\circ}$.

Gambar 3
Untuk menentukan posisi suatu titik dalam ruang diperlukan tiga koordinat, oleh karena itu dikatakan bahwa ruang berdimensi tiga. Pada gambar 4 di bawah, kita dapat memilih 3 sumbu sehingga P adalah $(3,1,4)$
Gambar 4

January 28, 2016

Mengenal Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang

Diagonal berasal dari kata "diagonios" ("dia" berarti melalui dan "gonia" berarti sudut), yang selanjutnya dapat diartikan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut pada sebuah bidang dan bukan merupakan rusuk bidang. Dari pengertian ini, kita harus dapat membedakan antara diagonal dan rusuk bidang. Perhatikan gambar 1 berikut:
Gambar 1
Dari gambar 1, kita dapat melihat bahwa ruas garis BD adalah diagonal, sedangkan ruas garis AB, BC, CD, dan DA bukanlah diagonal melainkan rusuk bidang. Sekarang mari kita perhatikan dan menentukan diagonal-diagonal dari gambar 2 berikut:
Gambar 2
Dari gambar 2, kita dapat menentukan bahwa diagonal-diagonalnya adalah ruas garis AC, AD, BE, BD, dan CE. Diagonal-diagonal tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut:
Gambar 3
Pada bangun ruang, diagonal terbagi menjadi dua istilah yatu diagonal bidang dan diagonal ruang. Pada prinsipnya diagonal ruang juga merupakan diagonal bidang juga, diagonal ruang tidak terletak pada bidang sisi tetapi terletak pada bidang yang berada diantara bidang sisi. Perhatikan gambar 4 berikut:
Gambar 4
Ruas garis DF merupakan diagonal ruang. Ruas garis DF terletak pada sebuah bidang yang memotong bangun ruang ABCD.EFGH seperti terlihat pada gambar 5 berikut:
Gambar 5
Bangun ruang pada gambar 4, dapat kita tentukan diagonal ruangnya adalah ruas garis AG, BH, CE, dan DF sebagaimana terlihat pada gambar 6 berikut:
Gambar 6
Agar kita lebih memahami tentang konsep diagonal bidang dan diagonal ruang, kita dapat menggunakan bantuan GeoGebra. Contoh penggunaan GeoGebra dalam bentuk lembar kerja untuk menentukan diagonal bidang dan diagonal ruang  dapt dilihat di bawah ini:



Dengan mengeksplorasi berbagai bangun menggunakan GeoGebra kita akan menjadi lebih memahami tentang konsep diagonal bidang dan diagonal sisi, sehingga kita akan lebih mudah menggunakan konsep ini untuk penyelesaian masalah yang lebih kompleks. Selamat mencoba semoga sukses menyertai kita.

January 17, 2016

Membuat Gambar Arsiran Suatu Daerah

Selain dituntut mahir materi matematika, seorang guru matematika sebaiknya juga menguasai kompetensi menulis dan menggambar matematika menggunakan bantuan komputer. Hal ini diperlukan minimal ketika membuat soal matematika, guru tersebut mampu menuangkannya dalam bentuk ketikkan dan gambar matematika yang sesuai dengan kaidah matematika. Berdasarkan pengalaman yang saya temui, ada beberapa guru matematika yang mengalami kesulitan ketika harus membuat gambar untuk melengkapi teks materi maupun teks soal. Salah satu kesulitan yang sering ditanyakan adalah bagaimana cara membuat gambar yang suatu daerahnya diarsir? Contohnya seperti gambar berikut:
Gambar 1
Sebenarnya, banyak cara yang dapat digunakan untuk membuat gambar seperti di atas. Semuanya tergantung dari penguasaan seseorang terhadap aplikasi atau program komputer yang ia kuasai. Di GeoGebra untuk menggambar arsiran seperti contoh di atas, sebenarnya tidak terlalu rumit. Pada umumnya untuk menggambar arsiran suatu daerah, pertama kali yang harus diperhatikan adalah tujuan membuat arsiran tersebut. Bertujuan untuk menjelaskan sebuah konsep dengan bantuan GeoGebra atau hanya sekedar untuk memproduk gambar kemudian disisipkan pada lembar word, powerpoint, dan yang lainnya.

Untuk tahap awal, biasanya hanya sekedar memproduk/membuat gambar yang kemudian disisipkan pada lembar lain. Untuk tujuan semacam ini, penggunaan konsep matematika yang benar pada GeoGebra dapat sedikit diabaikan. Nah pada postingan kali ini, kita akan membuat gambar dengan tujuan disisipkan pada lembar lain saja, sehingga konsep yang benar akan sedikit ditinggalkan. Namun para pembaca sebaiknya membaca juga artikel Penyelesaian Program Linear dan Luas Daerah Antara Dua Kurva, agar memperoleh gambaran tentang konsep yang benar itu seperti apa.

Untuk sekedar membuat gambar arsiran, gunakan saja tool Polygon. Misal kita akan membuat seperti Gambar 1. Terlebih dahulu gambar kurva-kurvanya terlebih dahulu, dengan cara mengetik langsung pada menu input x^2-2x+1, kemudian tekan enter. Selanjutnya ketikkan lagi 7-x dan jangan lupa enter kembali, sehingga akan terbentuk gambar berikut:
Gambar 2
Selanjutnya buat daerah yang akan diarsir menggunakan Polygon, hasilnya seperti berikut:
Gambar 3
Selanjutnya, pada gambar polygon yang terbentuk, klik kanan dan pilih Object Properties. Di dalam menu Object Properties Pilihlah Style, dan ubah Fillingnya dari Standar menjadi Hacthing.
Gambar 3
Hasilnya akan tampak seperti gambar berikut:
Gambar 4
Agar gambar tampak rapi, sembunyikan titik dan segmen pada poligon tadi, dengan cara klik kanan pada point dan segment kemudian  klik show object.
Gambar 5
Gambar 6
Hasilnya akan tampak seperti ini:
Gambar 7
Untuk menyisipkannya di lembar lain, klik file pilih Esxport dan klik Graphics View to Clipboard, kemudian paste-kan di lembar lain (misal word, power point atau lainnya). Untuk lebih jelas dapat membaca artikel Menggunakan GeoGebra untuk Melengkapi Teks Matematika di Office. Selamat mencoba dengan menggunakan gambar-gambar yang lain, semoga berhasil.






January 2, 2016

Segitiga yang Sebangun

Kesebangunan merupakan salah satu konsep matematika yang sering dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari, baik itu secara langsung mengetahui bahwa itu adalah konsep kesebangunan ataupun tidak mengetahui bahwa itu adalah konsep kesebangunan. Kita dapat mengambil contoh sederhana dengan menggunakan foto. Foto merupakan konsep kesebangunan yang digunakan dalam kehidupan keseharian kita. Misal kita memfoto sebuah bangunan, misalnya monas dan kita cetak dengan beberapa ukuran yang berbeda, maka ukuran gambar di beberapa foto tersebut berbeda tetapi gambar di foto tersebut tetaplah bangun yang sama yaitu monas.

Sebenarnya masih banyak konsep kesebangunan yang diterapkan dalam kehidupan keseharian kita, namun selanjutnya kita akan melihatnya menggunakan konsep matematika melalui kesebangunan segitiga.

Jika kita bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian antara gambar satu dengan gambar lain yang sebangun, maka akan diperoleh nilai yang sama, sehingga konsep kesebangunan segitigapun mengacu pada fakta tersebut dan dapat dituliskan sebagai:

Jika pada dua segitiga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama maka kedua segitiga tersebut sebangun.
Untuk memahaminya, simaklah simulasi kesebangunan dua segitiga pada lembar GeoGebra berikut ini:

Konsep dasar kesebangunan semacam ini, biasanya akan dikembangkan dalam bentuk soal untuk mengetahui atau menghitung sisi sebuah segitiga lain yang belum diketahui nilainya.