July 21, 2016

3 Poin Penting Mengapa Belajar Matematika Menggunakan GeoGebra Lebih Menarik

Menurut Suwarsono:

Matematika adalah ilmu yang memiliki sifat khas yaitu; objek bersifat abstrak, menggunakan lambang-lambang yang tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, dan proses berpikir yang dibatasi oleh aturan-aturan yang ketat.
Untuk mempelajari objek yang bersifat abstrak bukanlah suatu hal yang mudah, terkadang kita mengalami kesulitan dalam memahami konsep abstrak tersebut. Dalam praktik pembelajaran di Indonesia, siswa belajar matematika diawali dengan benda-benda konkrit, namun siswa tetap diarahkan agar mampu melakukan abstraksi.

Untuk mempermudah dalam mempelajari matematika yang bersifat abstrak, diperlukan media sebagai alat bantu untuk mengabstraksi objek konkrit atau mengkonkritkan objek yang abstrak. GeoGebra dapat menjadi pilihan alat bantu untuk mengabstraksi objek konkrit atau mengkonkritkan objek yang abstrak sehingga pembelajaran di kelas menjadi lebih menarik/menyenangkan.


Menurut laman resmi GeoGebra (https://www.geogebra.org) ada tiga alasan pokok kenapa belajar menggunakan GeoGebra menjadi menyenangkan:

  1. Siswa lebih senang belajar matematika menggunakan GeoGebra karena:
    1. GeoGebra membuat belajar matematika menjadi lebih mudah;
      Dengan GeoGebra siswa dapat berinteraksi langsung dengan konsep yang dipelajarinya (siswa dapat langsung membuat, menyentuh, merasakan, melihat yang dipelajarinya).
    2. GeoGebra menjadikan objek matematika menjadi lebih nyata;
      GeoGebra membuat sebuah hubungan antara geometri dan aljabar menjadi satu kesatuan yang baru, sehingga siswa dapat melihat, meyentuh dan mempunyai pengalaman matematika secara langsung.
    3. GeoGebra membuat matematika menjadi dinamis, interaktif, dan menyenangkan;
      GeoGebra mengajarkan matematika kepada siswa dengan cara dan semangat baru yang dapat melampaui media konvensional (papan tulis dan media lainnya).
    4. GeoGebra membuat matematika dapat diakses dan ada dimana saja dan kapan saja;
      Dengan tekhnologi saat ini, sangat memungkinkan mengakses dan mendapatkan berbagai materi matematika yang tersaji menggunakan GeoGebra dimana saja dan kapan saja.

  2. Guru menyukai GeoGebra karena:
    1. Guru tetap dapat mengajarkan matematika;
      GeoGebra tidak menggantikan posisi guru, namun membantu tugas guru untuk menjadi guru yang terbaik dalam mengajar.
    2. GeoGebra memberikan kesempatan kepada guru untuk merencanakan dan menghasilkan materi pembejaran yang lebih baik;
      GeoGebra memberikan kesempatan kepada guru untuk bereskpresi sesuai dengan apa yang diinginkan oleh guru tersebut dalam rangka memberikan pelayanan pembelajaran matematika kepada siswanya
    3. GeoGebra memberi kesempatan kepada guru untuk terhubung dengan guru lainnya;
      Guru dapat bergabung pada komunitas "GeoGebra Teacher" yang merupakan komunitas geogebra yang menghubungkan guru di seluruh dunia,
  3. Sekolah pun menyukai GeoGebra karena:
    1. Siswa dan guru yang menggunakan GeoGebra untuk belajar matematika mereka akan lebih termotivasi sehingga hasil belajarnya menjadi lebih baik.
Jadi, masihkah Anda ragu untuk menggunakan GeoGebra dalam pembelajaran matematika? Jika Anda mengalami kesulitan, mudah-mudahan blog ini bisa membantu Anda belajar GeoGebra.

July 18, 2016

Luas Daerah Antara Sebuah Kurva dan Sumbu Y

Perintah integral tentu di GeoGebra akan menghasilkan sebuah luasan kurva dengan batasan tertentu. Secara default, GeoGebra hanya dapat mengoperasikan integral dengan variabel x, sehingga luas daerah yang terbentuk dari operasi integral merupakan luas daerah yang batas integralnya hanya terletak pada sumbu x saja. Untuk beberapa keperluan, ada kalanya kita perlu mencari luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dengan sumbu y. Untuk itu, pemahaman luas integral menggunakan grafik sangat diperlukan agar kita dapat menentukan luas daerah dan gambar luasannya dengan tepat dan benar.

Dalam hal ini, kita akan coba lakukan studi kasus untuk memahami teknik penghitungan integral jika daerahnya dibatasi oleh sumbu y seperti gambar berikut!
Gambar 1

Daerah yang diarsir pada gambar di atas, merupakan luas daerah antara sebuah kurva dari fungsi $f(x)=3x^3$ dan sumbu y, $y=0$ dan $y=1$. Lalu bagaimana menghitungnya?

Fungsi $f(x)=y$ harus dirubah menjadi bentuk $f(y)=x$ kemudian baru dapat diintegralkan menggunakan batas-batas $y$. Namun hal itu sulit dilakukan, karena sebagaimana dituliskan di awal bahwa GeoGebra belum bisa mengeksekusi integral dengan variabel y . Jika kita tetap mencari luas daerahnya dengan menggunakan perintah integral secara langsung, maka hasilnya tentu tidak sesuai dengan yang diharapkan. Kita coba saja ketikkan rumus integral pada menu input:
"Integral[f(x), 0, 1]"
maka hasilnya berupa gambar dengan luasan yang tidak tepat seperti gambar berikut:
Gambar 2

Lalu apakah kita tidak dapat mencari luas daerahnya dengan menggunakan integral? Tentu masih bisa, namun disini perlu kita lihat dari sisi yang berbeda bahwa luas daerah pada gambar 1 adalah luas daerah yang dibatasi oleh beberapa garis dan sebuah lengkungan, Daerah yang diarsir tersebut dibatasi oleh garis $x=0$ dan $y=1$ serta kurva $f(x)$, sehingga daerah tersebut sebenarnya dibentuk antara garis $y=1$ dan kurva $y=3x^3$ dengan batas-batas merupakan perpotongan $x=0$ dengan $y=3x^3$ serta perpotongan $y=1$ dengan $y=3x^3$.

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, mari kita ikuti langkah-langkah penyelesaian menggunakan GeoGebra berikut:

  1. Buat fungsi dengan mengetikkan pada menu input f(x)=3x^3.
  2. Buat garis dengan mengetikkan y=1 pada menu input, sehingga terbentuklah sebuah garis dengan nama g (nama garis bisa saja berbeda).
  3. Cari titik potong antara garis $g$ dengan sumbu $y$, antara $f(x)$ dan garis $g$, serta antara $f(x)$ dan sumbu $y$, sehingga diperoleh titik potong seperti gambar 3.
  4. Cari luas daerahnya menggunakan rumus "Integral Between" dengan mengetikkan pada menu input:
    IntegralBetween[g, f, x(C), x(B)]
  5. Hasil integral dan gambar terbentuk, maka selesailah masalah pada gambar 1.
Gambar 3
Untuk lebih memahami cobalah menggunakan bentuk-bentuk yang berbeda.

Bersambung....

July 11, 2016

Simulasi Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y di GeoGebra

Umumnya sebuah gambar datar diputar mengelilingi sumbu  $X$ untuk melihat bentuk benda putar sekaligus mencari berapa volume benda putar tersebut, namun ada kalanya kita perlu memutar sebuah gambar datar mengelilingi sumbu $Y$. Dalam hal pemutaran mengelilingi sumbu $Y$, perlu diperhatikan bahwa kurva yang diputar bukanlah kurva dalam bentuk $f(x)=y$ melainkan kurva dalam bentuk $f(y)=x$.
Volume elemen silindernya bukanlah $\pi [f(x)]^2 \Delta x$, melainkan $\pi [f(y)]^2 \Delta y$, sehingga dengan menggunakan limit jumlah maka volume benda sesungguhnya adalah:

$V=\pi \int_a^b[f(y)]^2dy=\pi \int_a^bx^2dy$

Berdasarkan analogi di atas, maka untuk membuat simulasi volume benda putar mengelilingi sumbu $Y$ menggunakan GeoGebra perlu dicari terlebih dahulu fungsi $f(y)=x$. Karena GeoGebra saat ini belum dapat mengeksekusi variabel $y$ secara langsung, maka cara yang paling mudah adalah menentukan invers dari fungsi semulanya.

Baca juga:



Namun, fungsi invers tersebut kemudian di hidden (sembunyikan) karena hanya diperlukan sebagai alat untuk membuat simulasi dari volume benda putar yang mengelilingi sumbu $Y$

Berikut kita contohkan cara membuat simulasi volume benda putar dari $f(x)=x^3+1$ yang diputar mengelilingi sumbu $Y$ dengan batas $y= -1$ dan $y=2$.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
  1. Siapkan lembar GeoGebra yang menampilkan gambar 2D dan 3D;
  2. Buat fungsi $f(x)=x^3+1$;
  3. Cari inversnya dengan menggunakan perintah Invert(f) dan hidden-lah hasilnya;
  4. Buat slider sudut $\alpha$;
  5. Buat kulit benda putarnya dengan perintah Surface[g(a) cos(b), a, g(a) sin(b), a, -1, 2, b, 0, α];
  6. Geser slidernya untuk melihat simulasi benda putarnya;
  7. Jika sukses hasilnya seperti berikut ini:

Selamat mencoba! Untuk lengkapnya silahkan saksikan vidio tutorial pembuatan simualasi volume benda putar mengelilingi sumbu y menggunakan GeoGebra berikut ini: