December 9, 2015

Menyisipkan GeoGebra ke PowerPoint

PowerPoint merupakan software presentasi dari Microsoft Office yang sangat populer digunakan oleh masyarakat. Pembelajaran di Universitas atau Sekolah penggunaan PowerPoint sudah lazim dipakai sebagai alat untuk menyajikan bahan ajar utama maupun pendukung.

Bahan ajar yang disajikan dengan baik akan memberikan pengalaman belajar yang berbeda bagi masing-masing pebelajar. Dalam pembelajaran matematika, penggunaan PowerPoint dapat dikolaborasikan dengan GeoGebra, sehingga presentasi yang dilakukan menjadi lebih interaktif.

GeoGebra saat ini sudah memberikan fasilitas agar dapat disisipkan ke lembar presentasi PowerPoint menggunakan Add-Ins. Add-Ins GeoGebra ini dapat digunakan pada produk Office 2013 ke atas atau Office Online saja.

Bagi kita yang belum mempunyai lisensi Office 2013 ke atas, kita dapat menggunakan versi gratis melalui Office Online dengan memilih PowerPoint Online.

Untuk menggunakan fasilitas ini, kita dapat login di https://www.office.com/, dan memilih PowerPoint.

Setelah itu, kita akan berada pada laman PowerPoint Online.

Buat materi presentasi, misal tentang garis kita tuliskan "Dari dua titik dapat dibuat sebuah garis", kemudian untuk menjelaskan konsep tersebut kita lengkapi menggunakan lembar GeoGebra. Dari menu insert pilih  My Add-Ins, kemudian pilih GeoGebra For PowerPoint (jika belum tersedia, klik store dan ketikkan GeoGebra, kemudian pilih dan ikuti petunjuk berikutnya).

Kemudian kita akan diarahkan ke laman login akun GeoGebra, kita dapat login menggunakan akun facebook atau yang lainnya sesuai keinginan kita. Jika sudah login kita akan diberi pilihan untuk mencari materi yang sudah ada atau akan membuat sendiri. Baik pada contoh kali ini, kita pilih "Aljabar &Grafik" .

Seperti biasa, buat garis yang dikonstruksi dari dua buah titik yang berbeda. Setelah selesai kita bisa melakukan presentasi dengan melakukan klik pada tombol slideshow. Hasilnya seperti berikut:



Untuk tutorial dalam bentuk vidio dapat dilihat di bawah ini, dan selamat mencoba.

December 6, 2015

Persamaan Garis Singgung di Sebuah Titik pada Lingkaran

Sebelum kita membahas tentang persamaan garis singgung lingkaran di sebuah titik pada lingkaran, ada baiknya kita lihat perbedaan antara garis yang menyinggung lingkaran, memotong lingkaran dan di luar lingkaran. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat simulasi berikut ini:


Dari simulasi di atas, kita sudah dapat membedakan bagaimana sebuah garis dikatakan menyinggung, memotong, atau di luar lingkaran. Untuk menentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran, kita akan menggunakan dua rumus yang berbeda sesuai dengan pusat lingkarannya.

Rumus yang digunakan adalah:
Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(x_1,y_1)$ yang terletak di lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $x_1x+y_1y=r^2$
Persamaan garis singgung lingkaran pada titik $(x_1,y_1)$ yang terletak di lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
Mari kita lihat contoh berikut!

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (3,4) pada lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah....

Penyelesaian
Untuk menentukan persamaan garisnya kita gunakan cara sebagai berikut:
$\begin{eqnarray}
x_1x+y_1y&=&25\\
3x+4y&=&25\\
\end{eqnarray}$
Jadi persamaan garis singgung lingkaran di titik (3,4) pada lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah $3x+4y=25$ seperti gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (6, -4) pada lingkaran $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ adalah....

Penyelesaian
Untuk menentukan persamaan garis singgungnya kita gunakan cara sebagai berikut:
$\begin{eqnarray}
(x_1-2)(x-2)+(y_1+1)(y+1)& = &25\\
(6-2)(x-2)+(-4+1)(y+1) &=&25\\
4(x-2)-3(y+1) &=&25\\
4x-8-3y-3 &=&25\\
4x-3y &=& 36\end{eqnarray}$
Jadi persamaan garis singgungya adalah $4x-3y=36$ seperti gambar 2 berikut.
Gambar 2
Sebelum menggunakan kedua rumus di atas, ada baiknya kita selidiki apakah titik yang diketahui terletak pada lingkaran ataukah tidak. Jika titik terletak pada lingkaran, maka hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran akan memberikan hasil yang sama dengan jari-jarinya. Jika hasil yang diperoleh tidak sama dengan nilai jari-jari, maka harus dicari cara lain untuk mencari persamaan garis singgungnya. Cara ini akan kita posting pada tulisan berikutnya.

Simulasi Nilai Pi Menggunakan GeoGebra

Pi atau dilambangkan dengan $\pi$ merupakan salah satu bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bulat) dalam matematika yang cukup terkenal. Bilangan ini merupakan konstanta yang diperoleh dari perbandingan antara keliling sebuah lingkaran dengan diameternya. Nilai $\pi$ dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846 serta dalam bentuk pecahan dinyatakan dengan $\frac{22}{7}$.

Situs wikipedia menyebutkan bahwa:
Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal π sampai dengan lebih 10 triliun (1013) digit.Penerapan bilangan π dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari 40 digit desimal π, sehingga motivasi utama dari komputasi ini didasarkan pada keingintahuan manusia. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritme perkalian presisi tinggi.
Penggunaan nilai $\pi$ banyak ditemukan dalam rumus matematika, fisika, tekhnik serta rumus lainnya yang biasanya berhubungan dengan lingkaran. Selanjutnya benarkah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya menghasilkan nilai $\pi$?

Kita dapat menggunakan GeoGebra untuk melihat simulasinya. Dengan lingkaran yang dikonstruksi dari dua titik berbeda (misal A dan B), kita dapat mengetahui hasil perbandingan antara keliling lingkaran dan diameternya secara bebas dengan hanya menggeser kedua titik tersebut secara acak.

File GeoGebra dapat diakses di: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2231073

Untuk mengetahui keliling lingkaran dapat menggunakan rumus "Circumference[ <Conic> ]", diameter dapat dicari dengan mengalikan dua dari jari-jarinya,. Jari-jari dicari dengan rumus "Radius[ <Conic> ]".

Selain cara di atas, kita juga dapat mencari di laman http://tube.geogebra.org/ dengan menggunakan kata kunci "pi".

December 1, 2015

Persamaan Lingkaran

Dalam geometri Euclid, lingkaran merupakan himpunan titik-titik pada sebuah bidang dan memiliki jarak yang sama dari sebuah titik pusat.

Untuk lebih jelasnya perhatikan simulasi berikut ini.


Jarak titik A ke B dapat dihitung dengan cara:
$r  =  \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
sehingga
$r^2  = (x-a)^2+(y-b)^2.$

Bentuk
 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 
disebut sebagai 
persamaan lingkaran yang berpusat di A=(a,b) dan berjari-jari r

Jika pusatnya adalah (0,0) maka persamaan lingkarannya adalah:
$x^2+y^2=r^2$
Perhatikan simulasi lingkaran berpusat di (0,0) berikut:


Dari dua persamaan di atas, dapat kita ketahui bahwa unsur utama dalam sebuah lingkaran adalah pusat dan jari-jari. Jadi untuk membentuk sebuah persamaan lingkaran, syarat perlunya adalah pusat dan jari-jarinya diketahui terlebih dahulu.

Sebagai contoh kita dapat melihat bahwa persamaan $x^2+y^2=16$ adalah lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan berjari-jari 5 adalah $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

November 7, 2015

Refleksi (Pencerminan)

Bercermin merupakan aktifitas keseharian yang sering kita lakukan. Pada aktifitas bercermin kita akan melihat bayangan kita di dalam cermin. Ketika kita berjalan di tepi sungai atau danau kita juga dapat melihat bayangan pohon-pohon di dalam sungai atau danau, hal ini juga merupakan pencerminan.

Mari kita perhatikan gambar berikut:
Sumber Gambar: https://www.mathsisfun.com

Setiap titik pada bayangan yang berada di danau dan benda aslinya mempunyai jarak yang sama ke garis tertentu, garis ini merupakan batas antara benda asli dan bayangannya. Garis ini dapat di ibaratkan sebagai cermin.
Untuk menjelaskan konsep pencerminan titik di bidang kartesius, kita dapat memanfaatkan GeoGebra sebagai media interaktifnya. Misal kita akan mensimulasikan pencerminan sebuah titik A terhadap garis $x$, maka kita dapt membuatnya seperti di bawah ini:


Cara membuatnya pun mudah, ikuti langkah berikut:
  1. Buat sebuah titik sebarang misal titik A
  2. Dari toolbar, pilih Reflect about Line, kemudian klik titik A dan sumbu $x$, maka titik A akan tercermin pada garis $x$. Tinggal menggerakkan titik A untuk melihat hasil pencerminan dan mengamati sifat-sifatnya.
  3. Dengan langkah yang sama, kita dapat membuat pencerminan terhadap sumbu $y$, garis $y=x$, garis $y=-x$, garis $y=h$, garis $y=-h$ dan lainnya dengan terlebih dahulu membuat garisnya sebagai cermin.
  4. Untuk mencerminkan sebuah obyek lain (misal garis, segitiga, lingkaran dan lainnya) langkahnya pun sama seperti mencerminkan titik, hanya saja yang diklik untuk dicerminkan adalah obyek yang akan dicerminkan tersebut.
  5. Untuk pencerminan sebuah obyek ruang (misal kubus), langkah yang dilakukan sama, namun kita dapat memilih pencerminan terhadap bidang.
    Contoh pencerminan kubus terhadap bidang:
Selamat mencoba.

November 3, 2015

Tutorial Membuat Simulasi Vektor Orthonormal

Melanjutkan postingan yang lalu tentang vektor orthonormal ( bisa membaca artikel Vektor Orthonormal kembali), kali ini kita akan membahas bagaimana membuat simulasi vektor orthonormal menggunakan GeoGebra.


Sebagaimana diketahui dua buah vektor atau lebih dikatakan saling orthonormal jika vektor-vektor tersebut memiliki panjang 1 dan saling tegak lurus. Berdasarkan hal inilah pembuatan simulasi vektor orthonormal akan dibuat. Berikut panduan singkat membuat simulasi vektor orthonormal menggunakan GeoGebra:

  1. Buatlah sebuah garis bebas dari dua titik yang berbeda, misal garis yang melalui titik A dan B.
  2. Buatlah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis pada langkah 1 dan melalui sebuah titik di luar garis tersebut, misal titik C.
  3. Buatlah sebuah titik yang berada pada garis tegak lurus yang dibuat pada langkah 2, misal titik D.
  4. Sembunyikan kedua garis tersebut.
  5. Buat sebuah vektor dengan mengkonstruksikan dua titik pada masing-masing garis, vektor AB ($u$) dan vektor CD ($v$). $u$ dan $v$ adalah dua vektor yang saling orthogonal (tegak lurus), namun panjang vektornya tidak bisa dipastikan satu.
  6. Untuk menentukan vektor orthonormalnya, lakukan perhitungan berikut pada menu input GeoGebra
    1. (1/abs(u)) u
    2. (1/abs(v)) v
  7. Perhitungan pada langkah 6, menghasilkan dua vektor yang saling orthonormal.
Hasilnya dapat dilihat berikut ini:


Untuk lebih jelasnya perhatikan video berikut:

Selamat mencoba, semoga berhasil....

November 1, 2015

Vektor Orthonormal

Pada postingan terdahulu telah dibahas tentang vektor ortogonal (baca postingannya: Vektor Ortogonal), dan ada permintaan dari salah seorang pembaca agar membahas juga vektor orthonormal versi GeoGebranya. Postingan kali ini akan menanggapi permintaan dari pembaca tersebut untuk membahas vektor ortonormal versi GeoGebra. Agar tidak salah konsep tentang vektor orthonormal, postingan ini mengutip definisi vektor orthonormal dari laman: http://www.ucl.ac.uk/~ucahmdl/ LessonPlans/Lesson10.pdf yang mendefinisikan bahwa:
A set of vectors S is orthonormal if every vector in S has magnitude 1 and the set of vectors are mutually orthogonal
Berdasarkan definisi tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa vektor saling orthonormal harus memenuhi dua syarat, yaitu panjang vektornya 1 dan saling tegak lurus. Dua vektor yang saling tegak lurus belum bisa dikatakan saling orthonormal jika ada vektor yang panjang nya tidak sama dengan 1.


Misalkan, ada dua vektor $u$ dan $v$ yang saling tegak lurus dan masing-masing panjangnya tidak sama dengan 1, maka untuk menentukan vektor orthonormalnya haruslah dicari vektor satuan dari kedua vektor tersebut dengan cara:
$e_1=\frac{u}{|u|}$
dan
$e_2=\frac{v}{|v|}$
Vektor $e_1$ dan $e_2$ tersebutlah yang disebut vektor yang saling orthonormal.

Untuk Simulasinya dapat menggunakan GeoGebra sebagai berikut:


Demikian, semoga bermanfaat untuk kita semua, oh ya.... tutorial membuatnya akan kita posting pada tulisan berikutnya.

October 30, 2015

Jarak antara Dua Titik Pada Sistem Koordinat Kartesius

Titik merupakan salah satu unsur tak terdefinisi dari geometri (Rawuh, 2009). Pada geometri bidang Euclid setiap titik diperlakukan sama, sehingga tidak ada titik yang diperlakukan istimewa (Budhi, 2011). Landasan dari geometri analitik adalah sistem koordinat, sehingga pembahasan titik akan menjadi lebih mudah jika ditempatkan pada sebuah sistem koordinat.

Perhatikan gambar berikut:
Dengan menggunakan sistem koordinat, kita dapat mengatakan bahwa titik A berada pada koordinat (1,1) dan titik B berada pada koordinat (4,3).

Dua buah titik yang berlainan dapat dicari jaraknya dengan cara mengukur panjang ruas garis yang melalui titik tersebut. Dengan sistem koordinat, kita dapat menghitung jarak dua titik tersebut menggunakan teorema Phytagoras

Jika diketahui dua titik yang berbeda misal titik $A=(x_1,y_1)$ dan titik $B=(x_2,y_2)$, maka jarak antara dua titik tersebut merupakan panjang ruas garis AB $(\overline{AB})$ yang dapat dihitung dengan $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Untuk mempermudah pemahaman tentang jarak antara dua titik ini, perhatikan simulasi jarak antara dua titik berikut:


Dengan memindahkan titik-titik di atas, kita dapat mengetahui bagaimana sebenarnya dua titik tersebut dapat dihitung jaraknya.

Referensi:
Budhi, W. S. (2011). Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka.
Rawuh. (2009). Materi Pokok Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka.

October 29, 2015

Menentukan Persamaan Lingkaran yang Menyinggung Sebuah Garis

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjari-jari $r$ secara umum dituliskan dengan $x^2+y^2=r^2$, sedangkan lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ secara umum dituliskan dengan $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Sebagai contoh kita dapat melihat gambar 1 dan gambar 2 berikut:
Gambar 1


Gambar 2
Gambar 1 adalah lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan berjari-jari 2, maka lingkaran tersebut secara aljabar dapat ditulis $x^2+y^2=4$. Gambar 2 merupakan lingkaran yang berpusat di $A=(1,2)$ dan berjari-jari 2, sehingga secara aljabar dapat ditulis juga dengan $(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

Pada ujian nasional SMA program IPA, masalah persamaan lingkaran senantiasa dikeluarkan sebagai salah satu butir soal ujian. Soal ujian tentunya masalah yang disajikan tidak datar seperti gambar dan persamaan secara umum. Soal ujian kerap sekali memunculkan masalah persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya.

Penjelasan pada buku-buku pembahasan soal ujian tentunya sudah sangat lengkap, namun tidak ada salahnya kali ini kita melihat pembahasannya secara geometri menggunakan software GeoGebra.
Mari kita simak penyelesaian salah satu soal ujian nasional tahun 2015 yang lalu dengan menggunakan GeoGebra berikut:
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y+3=0$ adalah....
Untuk menyelesaikan soal ini, buat titik pusat (1,4) dan garis $3x -4y +3 =0$ dengan cara menginput langsung pada menu input. Kemudian buatlah sebuah garis yang tegak lurus garis $x-4y+3=0$ yang melalui titik $(1,4)$. Baca juga : Membuat Garis Tegak Lurus dan Sejajar.
Selanjutnya, tentukan titik potong antara garis $3x-4y+3=0$ dengan garis tegaknya. Langkah terakhir buatlah lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan melalui titik potong yang telah ditentukan tadi.

Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Klik tombol play untuk mengetahui langkah demi langkah penyelesaiannya.

Langkah-langkah penyelesaian tersebut dapat juga dilihat pada video berikut:

Langkah yang tersaji di atas juga dapat diselesaikan secara manual. Untuk melatih keterampilan berpikir dan membuktikannya, silahkan selesaikan soal diatas secara manual dan bandingkan hasilnya. Semoga sukses menyertai kita semua.....

October 14, 2015

Menyisipkan Lembar GeoGebra ke Blog


Pembelajaran online di Indonesia saat ini tengah berkembang, hal ini dapat dilihat dengan banyaknya situs pembelajaran online yang menawarkan pembelajarannya baik semi online maupun  full online. Melalui sebuah blog, kita juga dapat membuat sebuah  materi pembelajaran yang menarik sehingga dapat kita tawarkan kepada pengguna lain.

Bagi Anda yang ingin membuat konten pembelajaran matematika di sebuah blog, dapat memanfaatkan GeoGebra sebagai alat untuk menjelaskan konsep yang dituangkan dalam blog tersebut. GeoGebra dengan berbagai fiturnya, memang sangat menarik untuk digunakan. Fitur interaktifnya dapat dinikmati oleh siapa saja. Dengan fitur interaktif ini, sangat memungkinkan materi pembelajaran yang dibuat di sebuah blog ini dapat diakses orang lain secara interaktif juga,  tanpa  harus khawatir konsep tersebut salah.

Lalu bagaimana kita dapat menyisipkan lembar GeoGebra ke dalam tulisan yang kita buat di blog? Yang harus disiapkan terlebih dahulu adalah sebuah file Geogebra yang sudah dibuat untuk melengkapi tulisan tersebut. File tersebut  upload-lah ke laman http://tube.geogebra.org/, ikuti prosedur upload file yang digunakan, sehingga file tersebut dapat ter-upload

Jika file sudah sukses ter-upload, akseslah file tersebut dan lihatlah icon disebelah kanan atas dan kliklah icon kotak-kotak sehingga muncul beberapa pilihan., dan pilihlah tombol share.


Kliklah tulisan Embed, maka akan tampil konfigurasi seperti gambar berikut:

Sesuaikan dengan spesifikasi blog Anda dengan klik tombol Show more,  kemudian kliklah Copy to Clipboard.


Pada laman blog Anda, pilih konfigurasi untuk meyisipkan kode HTML yang sudah di-copy tadi, jika Anda menggunakan blogspot aktifkan menu HTML di sebelah kiri atas.


Untuk menyisipkan, gunakan konfigurasi keyboard Ctrl V (paste). Lembar GeoGebra telah sukses disisipkan dalam tulisan di blog kita.

Contohnya dapat dilihat seperti berikut:
Sumber file: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1077537
 
Selamat mencoba, semoga kesuksesan menyertai kita.

October 10, 2015

Pembahasan Soal Jarak Titik Ke Garis (UN 2015)

Berdasarkan informasi di website http://118.98.234.22/sekretariat/hasilun/, materi geometri dimensi tiga masih menjadi salah satu materi yang terkategori sulit dalam ujian nasional. Materi geometri dimensi tiga setiap tahunnya diujikan pada ujian nasional SMA program IPA. Pada ujian nasional 2015 yang lalu, soal geometri dimensi tiga diujikan sebanyak dua (2) soal yaitu masalah jarak titik ke garis dan menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang.

Mari kita simak sebuah soal tentang menentukan jarak titik ke garis pada ujian nasional tahun 2015 berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan ....
Untuk menyelesaikannya, perlu dibuat ilustrasi/gambar agar jawaban yang diperoleh tidak salah atau terkecoh dengan pilihan jawaban yang disediakan. Dari soal dapat diperoleh gambar sebagai berikut:


Dari gambar, sekilas kita menduga jarak titik E ke MC adalah adalah ruas garis EM. Ketika ruas garis EM dihitung maka akan diperoleh jawaban yang mana jawaban tersebut ada pada salah satu jawaban yang disediakan. Namun jawaban ini merupakan pengecoh, jadi jawaban tersebut belum tepat.

Jarak titik E ke MC merupakan ruas garis yang tegak lurus dengan MC. Disini kita harus pahami bahwa MC bukanlah ruas garis, namun garis yang melalui titik M dan titik C. Sehingga, gambar dapat diperluas menjadi:

Jarak titik E ke MC dapat ditentukan dengan mencari garis tegak lurus MC yang melalui titik E, digambarkan sebagai berikut:

Dengan beberapa bantuan ruas garis, penyelesaian akan menjadi lebih mengarah ke penyelesaian berikutnya.

Dari gambar terakhir ini, terlihat ada dua segitiga yaitu segitiga EMC dan segitiga EIC. Segitiga EMC merupakan segitiga sama kaki, panjang ruas garis EM = panjang ruas garis MC, sehingga panjang ruas garis MJ merupakan tinggi dari segitiga tersebut dan dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras.

$\begin{eqnarray*}
\overline{MJ}&=&\sqrt{20-12}\\
&=&\sqrt{8}\\
&=&2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}$

Dari gambar diketahui bahwa, segitiga EMC dan segitiga EIC mempunyai satu sudut yang sama besarnya, yaitu sudut $\beta$.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus diperoleh nilai $\sin{\beta}$ pada segitiga EMC sebagai berikut:

$\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\\
&=&\frac{\sqrt{10}}{5}
 \end{eqnarray*}$

Pada segitiga IEC, berlaku juga:

 $\begin{eqnarray*}
 \sin{\beta}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\frac{\sqrt{10}}{5}&=&\frac{\overline{EI}}{4\sqrt{3}}\\
\overline{EI}&=& \frac{4\sqrt{30}}{5}
 \end{eqnarray*}$
Jadi jarak titik E ke MC adalah  $ \frac{4\sqrt{30}}{5}$ cm.

Bantuan visualisasi jarak titik E ke MC dapat dilihat berikut ini:




Selain cara di atas, dimungkinkan masih dapat diselesaikan dengan cara yang lain. Video cara menentukan jarak titik ke garis menggunakan GeoGebra bisa dilihat berikut ini:

Selamat mencoba semoga kesuksesan senantiasa menyertai kita.

October 9, 2015

Pembahasan Soal Volume Benda Putar UN 2015

Integral merupakan materi yang terkategori baru dikenal oleh siswa SMA. Pada kurikulum 2006 atau KTSP integral baru dipelajari pada kelas XII. Materi integral senantiasa menghiasi lembar soal ujian nasional SMA kuhusunya program IPA dengan jumlah soal yang cukup banyak. Soal integral dimulai dari soal kategori mudah hingga sulit. Salah satu soal yang sering muncul adalah penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Dari beberapa paket soal ujian nasional tahun 2015 yang lalu, dapat diambil sebuah soal untuk dibahas pada kesempatan kali ini yaitu:
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva $y=−x^2+ 4$, sumbu X, garis  X = 0 di kuadran I diputar mengelilingi sumbu X sejauh $360^0$ adalah ....
Untuk menyelesaikan soal ini, langkah yang paling mudah untuk dilakukan pada tahap awal adalah menggambar grafik $y=-x^2+4$. Dengan menggambar grafik tersebut, akan diketahui daerah mana yang harus diputar dan dihitung volumenya. Grafik dari soal di atas dapat divisualisasikan dengan GeoGebra sebagai berikut:



Dari gambar diperoleh kesimpulan bahwa batas integralnya adalah 0 sampai 2, maka volumenya dapat dihitung dengan cara menyelesaikan $\int_0 ^2 \pi y^2 dx $.

$\begin{eqnarray*}
\int_0 ^2 \pi y^2 dx&=&\pi \int_0^2 (-x^2+4)^2 dx \\
&=&\pi \int_0 ^2 (x^2-8x+16) dx\\
&=&\pi((\frac{x^3}{3}-4x^2+16x)|_0 ^2)\\
&=&\pi \frac{256}{15}\\
\end{eqnarray*}$

Jadi volume benda putarnya adalah $\frac{256}{15}\pi$ satuan volume. Semoga bermanfaat dan selamat mencoba, semoga sukses selalu menyertai kita.

October 8, 2015

Animasi Teorema Phytagoras

Penggunaan GeoGebra untuk membantu pembelajaran matematika memang sangat menarik, yang dulunya hanya dapat diilustrasikan dengan gambar di papan tulis kini dapat divisualisasikan dengan menggunakan animasi. Animasi bermanfaat agar konsep yang tadinya abstrak akan menjadi lebih realistik dalam pemikiran pebelajarnya.


Salah satu contohnya adalah animasi teorema Phytagoras berikut ini:

Sumber: http://tube.geogebra.org/m/3793

Dengan mendownload file GeoGebra-nya kita dapat mempelajari bagaimana membuat animasi seperti di atas. Selamat mencoba dan semoga kesuksesan selalu bersama kita.

October 6, 2015

Volume Benda Putar

Salah satu contoh penggunaan integral adalah dapat digunakan untuk menghitung volume dari benda putar. Benda putar yang terbentuk dari sebuah kurva atau lebih pada interval tertentu dapat dihitung volumenya menggunakan integral.

Bentuk benda putar yang terjadi dapat bervariasi, tergantung dari jenis kurva pembentuknya. Berdasarkan pengalaman, kerap sekali siswa jenjang SMA mengalami kesulitan dalam mengabstraksikan bentuk benda putar yang ada.

Penggunaan GeoGebra dapat menjadi salah satu pilihan untuk membantu memberikan visualisasi bentuk benda putar yang terjadi. Teknik pembuatan simulasi benda putar telah diposting pada beberapa postingan antara lain: Membuat Simulasi Volume Benda Putar dan Simulasi Benda Putar Versi 2.

Salah satu contoh simulasi benda putar dapat dilihat pada lembar GeoGebra di bawah ini:




GeoGebra hanyalah sekedar alat bantu, skenario pembelajaran masih sangat diperlukan agar penggunaan GeoGebra dapat mencapai tujuan yang diperlukan. Selamat berkreasi, semoga kesuksesan selalu menyertai kita.

September 29, 2015

Membuat Tutup Es Krim Setengah Bola

Bagaimana kabarnya para sahabat pengguna GeoGebra di Indonesia, sudah lama blog ini tidak membuat tulisan tentang GeoGebra. Kali ini kita coba membuat tutup Es Krim yang berbentuk setengah bola.

Tulisan ini terisnpirasi dari sahabat guru matematika yang membuat ilustrasi gambar wadah es krim berbentuk kerucut dengan tutup setengah bola. Menggunakan GeoGebra, gambar wadah es krim dengan tutup setengah bola yang dibuat akan lebih real secara matematis.

Berikut ini langkah-langkah menggambarnya:


Pastikan lembar GeoGebra tampil seperti  gambar berikut:

 

Ketikkan pada menu input "f(x)=sqrt(4-x^2)" hasilnya akan seperti gambar berikut:

Selanjutnya klik pada sheet 3D, kemudian buat gambar kerucut sesuai dengan kondisi di atas (jari-jari 2), akan tampil sebagai berikut:

Buat tutup setengah bolanya dengan cara mengetikkan pada menu input perintah " Surface[f(a) sin(b), f(a) cos(b), a, a, 0, 2, b, 0, 360°]", hasilnya sebagai berikut:


Dengan melakukan editing sesuai dengan keperluan, maka dapat diperoleh gambar sebagai berikut:


Tutorialnya bisa ditonton pada video berikut:

February 8, 2015

Translasi

Dalam aktivitas keseharian kita, secara sadar atau tidak sadar kita selalu menyaksikan dan mengalami Translasi.  Setiap hari kita berjalan dari satu tempat ke tempat yang lain, memindahkan sesuatu dari satu tempat ke tempat yang lain, melihat suatu benda yang bergerak dari satu tempat ke tempat yang lain dan masih banyak hal lain yang kita alami yang berhubungan dengan perpindahan.

Dalam kamus besar bahasa Indonesia dituliskan bahwa translasi adalah pemindahan semua titik di dalam bidang tertentu pada jarak dan arah yg sama. Merujuk pada pengertian ini, maka  tidak dapat dipungkiri lagi bahwa dalam aktifitas keseharian kita selalu menyaksikan dan mengalami translasi. Namun demikian kegiatan yang kita lakukan dan saksikan dalam keseharian jarang sekali kita sebut sebagai translasi, sehingga saat disebutkan kata translasi terasa sangat asing.

Istilah translasi lazimnya digunakan pada matematika yang merupakan bagian dari transformasi geometri. Melihat kembali definisi translasi pada Kamus Besar Bahasa Indonesia maka tidak akan terlepas dengan vektor. Kenapa tidak terlepas dari vektor? Merujuk kembali pada Kamus Besar Bahasa Indonesia yang menuliskan bahwa vektor adalah besaran yang memiliki ukuran dan arah. Untuk memindahkan sesuatu ke tempat lain, pastilah diperlukan sebuah petunjuk atau perintah yang mengarahkan sesuatu tersebut dipindahkan, misalnya dipindahkan 5 meter ke sebelah kanan. Pemindahan ini akan mempunyai ukuran 5 meter ke arah kanan.

Penggunaan translasi pada GeoGebra pun tidak terlepas dari GeoGebra. Sehingga untuk melakukan translasi pada GeoGebra, langkah yang tidak boleh ditinggalkan adalah membuat vektor translasinya. Berkenaan dengan hal tersebut, disarankan bagi yang menggunakan GeoGebra sebagai media untuk mempelajari atau membelajarkan Transalasi terlebih dahulu disampaikan tentang vektor. Hal ini agar nantinya tidak terjadi miskonsepsi tentang translasi.

Misalnya segitiga ABC dengan A(2,4), B(1,3) dan C(2,2)  akan ditranslasikan oleh $\binom{2}{-3}$.
Agar translasi dapat berhasil, maka buatlah vektor dengan cara mengetikkan secara langsung di menu input "vector((0,0),(2,-3))". Selanjutnya untuk melakukan translasi klik tool translasi, klik segitiga yang akan ditranslasikan dan vektor translasinya. Maka translasi yang dilakukan telah sukses. Agar lebih memahami makna dari translasi sebaiknya tampilkan gridlines di GeoGebranya.
Untuk melakukan translasi, selain menggunakan tekhnik tersebut dapat menggunakan tekhnik input langsung atau modifikasi dengan klik langsung. Namun yang perlu menjadi perhatian adalah vektor translasinya. Sebagai bahan pertimbangan dalam melakukan translasi dapat menyaksikan video tutorial berikut:
 



February 1, 2015

Simulasi Suku Banyak (Polinomial)

Program iteraktif dapat digunakan untuk membantu menginvestigasi sebuah fungsi matematika (Miller, 2013). Program yang interaktif akan memberikan ilustrasi sesuai dengan kondisi yang dinginkan secara realtime.

Tulisan kali ini akan membahas bagaimana membuat sebuah fungsi polinomial yang mempunyai derajat tertentu dalam bentuk yang interaktif. Contoh yang akan digunakan menggunakan polinom dengan derajat maksimum 5. Secara langsung sebenarnya polinomial berderajat 5 dapat langsung dibuat dengan mengetikkan pada menu input langsung, namun cara ini akan memberikan hasil yang kurang interaktif.

Untuk membuat fungsi polinom agar dapat digunakan secara interaktif digunakan fasilitas slider. Langkah awal yang diperlukan adalah membuat slider sebanyak 5 buah slider. Agar pembuatan slider mudah, cukup ketikkan angka 1 pada menu input langsung dan tekan enter sebanyak 5 kali maka akan terbentuk 5 slider yang berjajar rapi secara vertikal (secra otomatis akan terbentuk a, b, c, d dan e) . Namun setelah pengetikkan, slider tidak akan tampil secara otomatis. Slider perlu ditampilkan dengan cara melakukan klik sedemikian rupa pada number (a, b, c, d dan e) di bagian algebra hingga slider tampil di tampilan graphics.

Setelah slider tampil, ketikkan pada menu input langsung: f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) sehingga akan tampil grafik yang mengilustrasikan polinom yang baru saja dibuat. Agar tampil bentuk pangkat pada menu algebra lakukan perintah berikut dengan cara mengetikkan pada menu input langsung: expand(f).

Untuk menampilkan akar dari polinom yang baru dibuat, ketikkan root(f). Untuk menggunakan secara interaktif, gerakkan slider sesuai dengan keperluan. Simak tutorialnya pada video berikut;

Selamat mencoba.

Referensi:
Miller (2013); Investigating the Generalization of a Special Property of Cubic Polynomials to Higher Degree Polynomials, diakses dari: http://www.geogebrajournal.com/index.php/ggbj/article/view/25/30pada tanggal 1 Februari 2015.

January 16, 2015

Membuat Simulasi Bilangan Pecahan (2)

Pada tulisan terdahulu kita sudah berlatih membuat simulasi pecahan dalam bentuk gambar (baca tulisannya di sini ). Tulisan kali ini melanjutkan pembahasan tentang pembuatan simulasi pecahan dalam bentuk pecahan senilai. Misalnya akan ditunjukkan bahwa  $\frac {3}{7}$ senilai dengan $\frac {6}{14}$
Langkah-langkah yang dilakukan adalah:
  1. Siapkan lembar GeoGebra
  2. Ketikkan "Polygon[(0, 0), (5, 0), (5, 2), (0, 2)]" pada menu input untuk membuat sebuah poligon. Modifikasi poligon tersebut dengan mengatur warna pada black dan opocity 0.
  3. Ketikkan D=5, N=3 dan S=5/D.
  4. Ketikkan " Sequence[Polygon[(i, 0), (i + S, 0), (i + S, 2), (i, 2)], i, 0, S (N - 1), S]". Modifikasi object ini dengan warna blue dan opocity 25.
  5. Untuk membuat media ini interaktif, maka diperlukan slider, sehingga buatlah slider dengan nama v yang mempunyai nilai minimum 1 dan maksimum 10 serta tingkat perubahannya (increement) 1.
  6. Untuk membuat bentuk pecahan senilai, maka ketikkan di menu input "N*v" dan "D*v".
  7. Pada menu input ketikkan "Sequence[Polygon[(i, 0), (i + S / v, 0), (i + S / v, 2), (i, 2)], i, 0, Max[S (N - 1 / v), 5 - S / v], S / v]". Lakukan modifikasi object ini dengan mengatur warna pada black dan opocity 0.
  8. Untuk menguji rumus-rumus tersebut berhasil, gerakkan slider-nya, jika berhasil maka dalam poligon yang dibuat akan terbagi menurut hasil slidernya.
  9. Selanjutnya buat sebuah teks dengan nama Pecahan = -------.
  10. Kemudian buatlah input box dan hubungkan dengan "N" sebagai pembilang, dan letakkan di atas garis pada pecahan. Edit input box ini, pada style isikan angka 5, kemudian jangan lupa ceklistlah fix object dan hilangkan cek list show label.
  11. Lakukan hal yang sama pada langkah 10 untuk membuat penyebutnya dengan menghubungkan "D".
  12. Untuk membuat teks yang dapat terhubung dengan bentuk yang ekiuvalen dengan pecahan yang dibuat, maka buatlah teks yang berisi "Ekuivalen dengan $\frac{ }{ }$. Pada tanda {} hubungkan dengan nilai yang diperoleh pada langkah 6 sehingga terbentuklah pecahan yang senilai. (jangan lupa cek list latex-nya)
  13. Lakukan editing selanjutnya agar tampilan-nya dapat menarik untuk dilihat sesusai dengan selera masing-masing.
  14. Jika langkah-langkah tersebut sudah sesuai, dengan cara menggerakkan slider "v"  kita dapat mengamati perubahan nilai ekuivalen dari sebuah pecahan.
Selamat mencoba.
Referensi:
BUILDING DYNAMIC FRACTION BAR MODELS WITH GEOGEBRA by Thomas Cooper (http://www.geogebrajournal.com/index.php/ggbj/article/viewFile/54/50)
File GeoGebra: Simulasi Pecahan (2)

January 15, 2015

Membuat Simulasi Bilangan Pecahan (1)

Di Matematika bilangan pecahan mulai dikenalkan ke siswa sejak mereka sekolah di jenjang dasar. Materi bilangan pecahan sangat menarik untuk dikaji dan diperdalam oleh siswa, guru, dan siapapun yang memiliki keperluan dengannya. Berdasarkan pengalaman penulis mengajar di jenjang SMA, masih dijumpai siswa yang mempunyai pemahaman yang kurang tepat mengenai bilangan pecahan. Ketika dihadapkan pada operasi bilangan pecahan (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan akar) masih ditemui siswa SMA yang mengalami kesulitan dalam menyelesaikan operasi tersebut.

Kondisi semacam ini terkadang menimbulkan sebuah lingkaran permasalahan yang sulit ditemukan solusinya. Pada jenjang SMA mengasumsikan materi tersebut sudah  dikuasai di jenjang SMP, sedangkan jenjang SMP hanya melanjutkan pemahaman dari jenjang sebelumnya. Disini jenjang dasar akhirnya menjadi tumpuan kesalahan utama dalam hal ini, namun demikian mereka yang berada pada jenjang dasar sebenarnya sudah memberikan pembelajaran yang sesuai dengan kapasitas pembelajaran di SD tentang Bilangan Pecahan tersebut. Untuk pengembangan selanjutnya akhirnya diserahkan pada jenjang-jenjang berikutnya.

Menurut hemat penulis, hal ini tidak perlu terjadi jika semua pihak (guru, siswa dan semua yang berkepentingan) merasa sangat perlu untuk mengkaji ulang dalam rangka memahami konsep bilangan pecahan tersebut. Saat ini media untuk mempelajari masalah bilangan pecahan dapat dicari dengan mudah secara online, baik  artikel maupun media interaktif. Selain menggunakan yang sudah ada, kita juga dapat berkontribusi membuat media untuk memperjelas dan sekaligus memperdalam pemahaman kita tentang bilangan pecahan.

Pada tulisan kali ini, akan dibahas bagaimana merepresentasikan sebuah bilangan pecahan dalam bentuk gambar melalui program GeoGebra. Tulisan ini merupakan pengantar sebagai dasar mengembangkan media GeoGebra terkait bilangan pecahan.

Misalnya akan dibuat representasi dari  $ \frac{3}{5}$ seperti terlihat pada gambar di bawah:
Untuk membuat gambar tersebut, kita gunakan perpaduan perintah polygon dan sequence  di GeoGebra. (tulisan tentang Sequence baca di sini)

Langkah untuk membuat gambar tersebut adalah:
  1. Siapkan lembar GeoGebra
  2. Ketikkan "Polygon[(0, 0), (5, 0), (5, 2), (0, 2)]" pada menu input untuk membuat sebuah poligon
  3. Ketikkan D=5, N=3 dan S=5/D
  4. Ketikkan "Sequence[Polygon[(i, -3), (i + 1, -3), (i + 1, -1), (i, -1)], i, 0, D - S, S]" pada menu input untuk membuat poligon yang terbagi menjadi 5 bagian yang sama
  5. Ketikkan " Sequence[Polygon[(i, 0), (i + 1, 0), (i + 1, 2), (i, 2)], i, 0, 2, S]" pada menu input untuk membuat poligon yang terbagi menjadi 3 bagian yang sama pada poligon yang telah dibuat pada langkah kedua.
  6. Lakukan editing sesuai dengan selera sehingga dapat terlihat seperti gambar diatas.
  7. Langkah-langkah ini akan sedikit membingungkan, namun dengan cara mengulangi dan mencoba dengan berbagai angka yang disesuaikan maka hal ini akan menjadi lebih jelas.
  8. Selamat Mencoba
Untuk tulisan berikutnya, akan kita bahas penggunaan teknik ini untuk membuat media bentuk pecahan yang ekuivalen.

Referensi:
BUILDING DYNAMIC FRACTION BAR MODELS WITH GEOGEBRA by Thomas Cooper (http://www.geogebrajournal.com/index.php/ggbj/article/viewFile/54/50)
File GeoGebra: Simulasi Pecahan (1)

Baca tulisan berikutnya di SINI

January 11, 2015

Membuat Simulasi Penjumlahan Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan (wikipedia). Penjumlahan bilangan bulat mulai dikenalkan di sekolah pada jenjang dasar. Berdasarkan pengalaman yang terekam dalam memori penulis saat belajar penjumlahan bilangan bulat di sekolah, pada waktu itu dikenalkan dengan istilah "hutang-hutangan". Pembelajaran awal ini ternyata masih tererkam dengan baik hingga saat ini. Jujur saya katakan sungguh luar biasa penemu model "hutang-hutangan" ini.

Tanpa mengurangi rasa kagum dan terimakasih pada model hutang-hutangan ini, penulis mencoba menuangkan sebuah catatan kecil yang merupakan representasi para guru matematika kita dalam rangka menjelaskan cara menjumlahkan bilangan bulat tanpa menggunakan model hutang-hutangan, yaitu dengan menggunakan garis bilangan. Penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan sangat terbatas pada nilai-nilai yang relatif sedikit, namun demikian konsep penjumlahan dari bilangan bulatlah yang menjadi point pada penggunaan garis bilangan tersebut.


Agar lebih menarik, maka penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan perlu dibuatkan media. Media yang akan dibuat menggunakan software GeoGebra dan berbentuk interaktif. Mudah-mudahan tulisan ini dapat membantu para guru kita untuk lebih kreatif membuat media ini nantinya.

Berikut langkah-langkah pembuatan simulasi penjumlahan bilangan bulat dengan garis bilangan menggunakan GeoGebra:
  1.  Siapkan sheet GeoGebra, dari viuw graphics klik kanan dan pilih graphics properties, kemudian lakukan langkah-langkah:
    • Pada tab yAxis, atur agar yAxis tersembunyi dengan cara menghilangkan tanda cek pada yAxis-nya.
    • Pada tab xAxis atur sedemikian rupa hingga jarak antar titik adalah satu (1) dan seting maksimum 10 dan minimumnya 10.
  2. Buatlah dua slider (a dan b) dengan nilai minumum -10 dan maksimum 10 serta jarak perubahan (increment)-nya 1.
  3. Buatlah dua titik yaitu A = (0 , 1) dan  B = A + (a , 0).
  4. Buatlah vektor yang menghubungkan antara titik A dan B tersebut.
  5. Buatlah dua titik lagi, yaitu C = B + (0 , 1) dan D = C + (b , 0) , kemudian buat vektor yang menghubungkan dua titik tersebut.
  6. Buat dua titik lagi, misalnya E = (0,0)  dan  F = (x(D) , 0)
  7. Buat ruas garis yang menunjujkkan hubungan antara A dan E, B dan C, serta F dan D.
  8. Lakukan operasi penjumlahan untuk menghasilkan nilai dari  a + b 
  9. Buatlah sebuah teks dinamis yang menghubungkan object-object pada penjumlahan bilangan bulat yang baru saja dibuat.
  10. Lakukan editing seperlunya sehingga tampilannya dapat menarik sesuai dengan selera masing-masing.
  11. Agar lebih jelas saksikan tutorialnya pada video berikut:

File GeoGebra yang telah dibuat juga dapat di download di sini atau langsung bisa dilihat berikut ini:


Demikian tutorial ini semoga bermanfaat dan harapannya dapat dikembangkan sesuai dengan kondisi yang ada.

January 10, 2015

Simulasi Benda Putar untuk Soal UN 2014

Ujian Nasional tahun 2015 sebentar lagi dilaksanakan. Untuk jenjang SMA diperkirakan dilaksanakan pada bulan April 2015 mendatang. Melakukan persiapan dalam rangka meraih kesuksesan untuk memperoleh nilai yang diharapkan merupakan hal yang cukup baik dilakukan oleh para siswa. Salah satu persiapan yang dapat dilakukan adalah dengan mempelajari soal-soal ujian yang telah diujikan pada tahun-tahun sebelumnya.

Untuk jenjang SMA program IPA salah satu soal yang diujikan pada tahun 2014 adalah masalah volume benda putar. Soal yang diujikan pada sebuah paket soal Ujian Nasional 2014 Program IPA adalah:
Agar lebih memahami soal tersebut, soal tersebut perlu disajikan dalam bentuk gambar atau simulasi yang pada akhirnya dapat menambah pemahaman dalam menyelesaikan soal-soal yang serupa. 

Pada tulisan kali ini akan mengupas bagaimana cara membuat simulasi benda putar yang ada pada soal ujian tersebut. Yang perlu dipersiapkan adalah membuat grafik dari soal yang diketahui tersebut.
Karena lingkaran belum berbentuk fungsi, maka lingkaran tersebut dibuatkan sebuah fungsi dengan membuat fungsi setengah lingkaran dengan rumus sqrt(4-x^2). Selanjutnya dibuatkan permukaan yang membentuk benda putar dari soal yang diberikan.

Rumus-rumus yang digunakan:
  • Surface[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, x(A), b, 0, α]
  • Surface[a, g(a) cos(b), g(a) sin(b), a, x(A), 2, b, 0, α]
Rumus-rumus diatas digunakan dengan ketentuan bahwa $f(x)=\sqrt{3} x^2$ dan $g(x)=\sqrt{4-x^2}$.
Apabila ketentuan-ketentuan diatas telah terpenuhi maka akan dapat dilihat bentuk benda putar yang dibuat berdasarkan soal diatas.
Sebagai bahan pembanding file GeoGebra dari soal tersebut dapat didownload di sini
Selanjutnya untuk berlatih dapat menggunakan soal-soal ujian nasional yang lain, dan dapat didownload di sini
Selamat mencoba....

Simulasi Benda Putar Versi 2

Pada tulisan sebelumnya telah dibahas tekhnik membuat simulasi volume benda putar menggunakan GeoGebra (Baca tulisannya di sini ). Pada tulisan kali ini akan dibahas tekhnik yang sama namun dengan sedikit tambahan menggunakan beberapa perintah yang telah ditulis juga sebelumnya.

Pada tekhnik kali ini digunakan gabungan perintah Surface dan Sequence. Perintah Surface sebagaimana diketahui digunakan untuk membuat permukaan atau kulit benda putar yang akan dibuat, sedangkan perintah Sequence digunakan untuk membuat barisan objek yang akan diputar.

Yang perlu disiapkan adalah lembar kerja GeoGebra 5 keatas dengan viuw aljabar, 2 dimensi dan 3 dimensi. Misalnya akan dibuat benda putar dari sebuah grafik f(x)=sin(2x + 1), maka langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
  1. Buat grafik fungsi dari f(x) = sin (2x +1) dengan menu input langsung
  2. Buat slider sudut alpha
  3. Buat kulit/permukaan benda putar dengan menggunakan rumus:
    • Surface[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, 1, b, 0, α]
  4. Buat barisan kurva dengan menggunakan perintah sequence yang digabungkan dengan perintah curve seperti berikut ini:
    • Sequence[Curve[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, 1], b, 0, α, 30°]
  5. Edit seperlunya, maka benda putar telah terbentuk dengan cara menggeser slider sudut alpha
  6. Selamat mencoba

January 3, 2015

Menggunakan Perintah "Sequence" di GeoGebra

GeoGebra sebenarnya telah mempunyai fasilitas yang cukup lengkap dalam merepresentasi matematika. Tinggal kemampuan dari user GeoGebra untuk menggunakan fasilitas tersebut agar berguna dengan maksimal. Salah satu tujuan blog ini dibuat adalah sebagai tempat sharing tentang berbagai hal yang berhubungan dengan penggunaan GeoGebra agar diperoleh kebermanfaatan dari software ini secara maksimal. Pada tulisan kali ini dibahas perintah "Sequence" yang dalam versi Bahasa Indonesia "Barisan".

Perintah "Sequence" akan menghasilkan/menampilkan daftar/barisan obyek dari ekspresi matematika yang dibuat pada batasan tertentu. Perintah "Sequence" biasanya digunakan bersamaan dengan perintah yang lain. Perintah ini digunakan sebagai pendamping perintah lain untuk memperjelas sebuah konsep matematika.
Pada saat tulisan ini dibuat, perintah "Sequence" terdiri dari tiga kategori:
  1. Sequence[ <End Value> ]
  2. Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
  3. Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value>, <Increment> ]
Perintah-perintah tersebut dijelaskan sebagai berikut
  • Sequence[ <End Value> ] 
Perintah pertama adalah yang paling sederhana dan menghasilkan sebuah barisan bilangan asli. Contoh:
Sequence[100]
Perintah ini akan mengasilkan daftar bilangan asli sampai dengan 100.
  • Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
Perintah ini mempunyai tiga komponen utama:
Expression: format ini digunakan untuk membuat ekspresi matematika yang akan ditampilkan dalam daftar/barisan tertentu. Misalnya titik, ruas garis, kurva dan sebagainya.
Variable: format ini digunakan untuk mendefinisikan variabel yang digunakan dalam ekspresi matematika sehingga dapat dibaca oleh program.
Value: format ini berguna untuk menentukan batas bawah dan atas dari sebuah nilai yang digunakan oleh ekspresi matematika.
Contoh:
Sequence[(a, 0), a, -3, 5]
Perintah ini akan menghasilkan barisan titik pada sumbu x yang dimulai dari titik (-3,0) dan diakhiri pada titik (5,0).

Gambar dibawah ini merupakan penggunaan perintah Sequence untuk menunjukkan hubungan antara koordinat pada sumbu x dan sumbu y pada sebuah fungsi kuadrat.

Langkah yang perlu dilakukan untuk membuat gambar tersebut adalah:
  1. Membuat fungsinya, dengan mengertikkan f(x)=x^2 pada menu input langsung;
  2. Membuat daftar titik yang berada pada fungsi tersebut dengan cara mengetikkan: Sequence[(a, f(a)), a, -2, 2];
  3. Membuat daftar ruas garis yang menghubungkan antara koordinat sumbu x dan sumbu y sehingga bertemu pada titik yang berada pada fungsi tersebut. Perintah yang perlu diketikkan ada dua:
    1. Sequence[Segment[(a, 0), (a, f(a))], a, -2, 2]
    2. Sequence[Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], a, -2, 2]
  4. Selanjutnya ruas garis yang terbentuk diedit sepertlunya sehingga terbentuk garis putus-putus.
Sedikit penjelasan tentang perintah Sequence[Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], a, -2, 2].
Ekspresi matematika pada perintah ini adalah Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], yang merupakan ekspresi matematika untuk membuat ruas garis dari dua titik, yaitu titik  (0,f(a)) dan titik (a,f(a)). Ekspresi ini dapat disesuaikan dengan keperluan apa yang digunakan.
  • Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value>, <Increment> ]
Perintah ini tidak jauh berbeda dengan perintah sebelumnya. Perintah ini hanya menambahkan format Increment. Format ini memberikan pilihan berapa jarak antara obyek satu dengan yang lainnya. Pada format sebelumnya jarak antara obyek satu dengan yang lain secara otomatis adalah satu satuan. Untuk keperluan tertentu maka format ketiga ini dapat digunakan. Contoh pada gambar dibawah ini menggunakan format ketiga:
Perintah yang digunakan adalah:
  1. Sequence[Segment[(a, 0), (a, f(a))], a, 0, 1, 0.05]
  2. Sequence[Segment[(a, g(a)), (a, f(a))], a, 1, 2, 0.05]
Perintah Sequence dapat digunakan untuk melengkapi perintah-perintah lain sesuai dengan keperluannya. Misalnya gambar berikut:

Selamat mencoba...